[论文解读] Series representations of the remainders in the expansion for certain trigonometric and hyperbolic functions with applications

C.-P. Chen, R. B. Paris|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2016

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 20被引用 3

一句话总结

本文通过积分与无穷级数恒等式，推导出三角函数与双曲函数泰勒展开余项的显式级数表示，特别针对 tan t、tanh t 和 sec t。核心贡献在于利用伯努利数与欧拉数的联系以及余项的渐近分析，建立了具有最优常数的紧致、精确不等式。

ABSTRACT

In this paper, we present series representations of the remainders in the expansions for certain trigonometric and hyperbolic functions. By using the obtained results, we establish some inequalities for trigonometric and hyperbolic functions.

研究动机与目标

• 推导 tan t、tanh t 与 sec t 泰勒展开余项的显式级数表示。
• 利用推导出的余项表示，建立三角函数与双曲函数的精确不等式。
• 确定这些不等式中最佳可能的常数，特别是针对 sec t 与 tan t。
• 通过类似技术，将此前关于 sech t 与 coth t 展开余项的结果推广至新函数。
• 通过余项分析，为涉及伽马函数比值的不等式提供严格的理论基础。

提出的方法

• 利用已知的部分分式展开，推导出无穷级数恒等式：tan t = ∑_{k=1}^∞ 8t / (π²(2k−1)² − 4t²)。
• 应用几何级数展开 1/(1−q) = ∑_{j=0}^{N−1} q^j + q^N/(1−q)，将余项分解为多项式与剩余部分。
• 运用关于奇数整数求和的已知恒等式：∑_{k=1}^∞ 1/(2k−1)^{2n} = (2^{2n}−1)π^{2n}|B_{2n}|/(2·(2n)!），与伯努利数建立联系。
• 利用三 digamma 函数 ψ′(z) 的反射与递推性质，证明 ∑_{k=N+2}^∞ 1/(4k²−1)² 的级数恒等式。
• 通过不等式 4^{n+1}/π^{2n+1}(1+3^{-1-2n}) < |E_{2n}|/(2n)! < 4^{n+1}/π^{2n+1} 对欧拉数 |E_{2n}|/(2n)! 进行界定，以确立不等式的紧致性。
• 通过解析延拓与级数项的符号分析，推导出 tanh t 与 sec t 的余项表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 tan t 与 tanh t 泰勒展开余项的精确级数表示是什么？
• RQ2 如何对余项进行界定，以获得 sec t 与 tan t 的精确不等式？
• RQ3 涉及 sec t 展开余项的不等式中，最佳可能常数是什么？
• RQ4 所推导的余项表示如何改进经典不等式 Becker–Stark？
• RQ5 能否通过特殊函数与数列序列，将余项结构推广至其他三角函数与双曲函数？

主要发现

• tan t 展开的余项表示为 ϑ_N(t) = (2^{2N+3}t^{2N+1}/π^{2N}) × ∑_{k=1}^∞ 1/[(2k−1)^{2N}(π²(2k−1)²−4t²)]，对 |t| < π/2 成立。
• 对于 tan t，不等式 1 + (32t²)/(π²(π²−4t²)) + (32t²(π⁴/96−1))/π⁴ < tan t/t < 1 + (32t²)/(π²(π²−4t²)) + (8t²(5−π²/2))/π⁴ 在 0 < t < π/2 时成立，优于 Becker–Stark 不等式。
• tanh t 展开的余项为 τ_N(t) = (−1)^N × (2^{2N+3}t^{2N+1}/π^{2N}) × ∑_{k=1}^∞ 1/[(2k−1)^{2N}(π²(2k−1)²+4t²)]，对所有实数 t 成立。
• 对于 sec t，不等式 |E_{2N}|/(2N)! < (sec x − s_N(x))/(x^{2N−1} tan x) < (2/π)^{2N−1} 在 0 < x < π/2 时成立，且两个常数均为最优。
• 极限行为 lim_{x→0} (sec x − s_N(x))/(x^{2N−1} tan x) = |E_{2N}|/(2N)! 与 lim_{x→π/2} = (2/π)^{2N−1} 确认了边界的紧致性。
• 本文通过数学归纳法与三 digamma 函数递推关系，证明了恒等式 ∑_{k=N+2}^∞ 1/(4k²−1)² = (1/8)ψ′(N+3/2) − (N+2)/(2(2N+3)²)。