[论文解读] Series representations of the Riemann and Hurwitz zeta functions and series and integral representations of the first Stieltjes constant

Mark W. Coffey|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2011

Advanced Mathematical Identities参考文献 8被引用 9

一句话总结

本文利用广义伯努利数（诺尔伦多项式）提出黎曼和赫维茨 zeta 函数的新级数表示，实现了在整个复平面上的解析延拓。关键贡献是为第一类斯蒂尔杰斯常数 $\gamma_1(a)$ 提供了一种新的积分与级数表示，统一并拓展了此前的结果，包括鲁比内斯蒂的成果。

ABSTRACT

We develop series representations for the Hurwitz and Riemann zeta functions in terms of generalized Bernoulli numbers (Nörlund polynomials), that give the analytic continuation of these functions to the entire complex plane. Special cases yield series representations of a wide variety of special functions and numbers, including log Gamma, the digamma, and polygamma functions. A further byproduct is that $ζ(n)$ values emerge as nonlinear Euler sums in terms of generalized harmonic numbers. We additionally obtain series and integral representations of the first Stieltjes constant $γ_1(a)$. The presentation unifies some earlier results.

研究动机与目标

• 通过广义伯努利数（诺尔伦多项式）发展赫维茨与黎曼 zeta 函数的级数表示，实现在整个复平面上的解析延拓。
• 推导第一类斯蒂尔杰斯常数 $\gamma_1(a)$ 的新级数与积分表示，统一并拓展近期成果，如鲁比内斯蒂的研究。
• 证明 $\zeta(n)$ 的取值可作为涉及广义调和数的非线性欧拉和出现。
• 通过同一框架，为特殊函数（包括 digamma、polygamma 和 log-Gamma 函数）提供统一的级数表示。

提出的方法

• 通过关系式 $\zeta(s,a) = \frac{\Gamma(a)}{\Gamma(s-1)} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!} \frac{B_k^{(s+k-1)}}{s+k-1} \frac{\Gamma(s+k-1)}{\Gamma(s+k+a-1)}$，推导出 $\zeta(s,a)$ 关于广义伯努利数 $B_k^{(s+k-1)}$ 的级数表示。
• 利用诺尔伦多项式的生成函数 $\left(\frac{z}{e^z - 1}\right)^\alpha e^{xz} = \sum_{n=0}^{\infty} B_n^{(\alpha)}(x) \frac{z^n}{n!}$ 表达级数中的系数。
• 应用积分表示 $\psi^{(n)}(x) = (-1)^{n+1} n! \zeta(n+1,x)$，将 zeta 函数与 polygamma 函数关联。
• 通过分析 $\zeta(s,a)$ 在 $s=1$ 附近的洛朗展开，推导 $\gamma_1(a)$ 的积分形式，利用 $\zeta(s,a)$ 的级数表示。
• 利用广义第一类斯特林数 $s(\lambda,k)$（通过 Pochhammer 符号的导数定义）表达调和数恒等式。
• 通过函数方程与已知恒等式（如 $\psi'(x+1) = \psi'(x) - 1/x^2$）验证结果，结合积分与级数恒等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用广义伯努利数表示赫维茨 zeta 函数 $\zeta(s,a)$，以实现解析延拓？
• RQ2 在此框架下，能否推导出第一类斯蒂尔杰斯常数 $\gamma_1(a)$ 的新积分与级数表示？
• RQ3 如何理解 $\zeta(n)$ 的取值与涉及广义调和数的非线性欧拉和之间的关系？
• RQ4 该方法在何种程度上统一并拓展了先前成果（如鲁比内斯蒂关于 $\gamma_1(a)$ 的研究）？
• RQ5 digamma 与 polygamma 函数能否通过此级数框架系统地表示？

主要发现

• 本文推导出 $\zeta(s,a)$ 的新级数表示：$\zeta(s,a) = \frac{\Gamma(a)}{\Gamma(s-1)} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!} \frac{B_k^{(s+k-1)}}{s+k-1} \frac{\Gamma(s+k-1)}{\Gamma(s+k+a-1)}$，在 $s \neq 1$ 且 $\operatorname{Re} a > 0$ 时成立，实现了解析延拓。
• 对于黎曼 zeta 函数，表示形式变为 $\zeta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)} \frac{1}{s-1} + \frac{1}{\Gamma(s-1)} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!} \frac{B_k^{(s+k-1)}}{(s+k-1)^2}$。
• 第一类斯蒂尔杰斯常数 $\gamma_1(a)$ 通过从 $\zeta(s,a)$ 的级数展开导出的新积分表示表达，涵盖并推广了早期结果。
• 三角 psi 函数满足 $\psi'(x) = \Gamma(x) \sum_{k=0}^{\infty} \frac{k!}{k+1} \frac{1}{\Gamma(x+k+1)}$，该式恢复了已知函数方程 $\psi'(x+1) = \psi'(x) - 1/x^2$。
• 本文表明，当整数 $n \geq 2$ 时，$\zeta(n)$ 作为非线性欧拉和出现：$\zeta(n) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{H_k^{(n-1)}}{k^n}$，其中 $H_k^{(r)}$ 为广义调和数。
• 建立了一个新的积分恒等式：$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k! H_k}{(x)_{k+2}} = \frac{1}{2} \int_0^1 t^{x-1} \ln^2 t \, dt = \frac{1}{x^3}$，该式证实了 tetragamma 函数的函数方程。