[论文解读] Series reversion in Calder\'on's problem

Henrik Garde, Nuutti Hyvönen|arXiv (Cornell University)|May 7, 2021

Numerical methods in inverse problems参考文献 60被引用 11

一句话总结

本文提出了一种用于求解电刺激断层扫描（EIT）中Calderón逆电导问题的新系列反演方法，通过部分边界测量实现对已知电导矩阵的加法扰动的高阶数值重建。通过证明前向映射的解析性并将其泰勒级数反演至任意阶，该方法在Fréchet导数可逆条件下实现收敛，计算复杂度与求解线性化问题相当，并适用于连续模型（CM）和光滑化完整电极模型（SCEM）。

ABSTRACT

This work derives explicit series reversions for the solution of Calder\'on's problem. The governing elliptic partial differential equation is $ abla\cdot(A abla u)=0$ in a bounded Lipschitz domain and with a matrix-valued coefficient. The corresponding forward map sends $A$ to a projected version of a local Neumann-to-Dirichlet operator, allowing for the use of partial boundary data and finitely many measurements. It is first shown that the forward map is analytic, and subsequently reversions of its Taylor series up to specified orders lead to a family of numerical methods for solving the inverse problem with increasing accuracy. The convergence of these methods is shown under conditions that ensure the invertibility of the Fr\'echet derivative of the forward map. The introduced numerical methods are of the same computational complexity as solving the linearised inverse problem. The analogous results are also presented for the smoothened complete electrode model.

研究动机与目标

• 开发一族可任意高阶的数值方法，用于重建Calderón逆问题中已知电导系数的加法扰动。
• 在确保前向映射Fréchet导数可逆的条件下，建立这些方法的收敛性。
• 将该方法扩展至连续模型（CM）和光滑化完整电极模型（SCEM），确保其适用于实际EIT测量。
• 为实现系列反演，系统性地构建投影算子Q，特别是在二维空间中。
• 证明该方法的计算成本与求解线性化逆问题的复杂度完全一致，且不依赖于离散化程度。

提出的方法

• 证明了从电导系数A到投影的诺伊曼到狄利克雷算子Λ(A)的前向映射在矩阵值L∞系数空间中是解析的。
• 该方法采用前向映射泰勒展开的显式系列反演，以重建至阶K的扰动B，得到渐近公式B = Σ_{j=1}^K F_j + O(||B||^{K+1})。
• 要求投影Fréchet导数PDΛ(A; ·)P在包含扰动B的已知子空间W上为单射，并映射到一个闭的补子空间，以确保相对前向映射的可逆性。
• 在适当的巴拿赫空间上引入投影算子Q，以确保与W的兼容性，从而实现系列反演所需的解析逆。
• 在二维情况下，Q系统性地选择为希尔伯特-施密特算子空间中某个闭子空间上的正交投影，利用单位圆盘ND映射的共形映射与谱性质。
• 当W为有限维时，通过避免显式构造Q，仅依赖于一阶导数反演步骤的标准正则化技术，实现该方法的高效计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 在前向映射解析性及投影Fréchet导数可逆性条件下，是否可使用系列反演方法对Calderón问题的前向映射实现任意阶反演？
• RQ2 在何种系数空间与测量数据条件下，可保证系列反演方法对加法扰动重建的收敛性？
• RQ3 在二维空间中，如何系统性地构造投影Q以实现稳定系列反演？
• RQ4 该方法的计算成本与求解线性化逆问题的复杂度相比，其扩展程度如何？
• RQ5 系列反演框架是否可扩展至光滑化完整电极模型？其收敛性与复杂度特性是否得以保持？

主要发现

• 前向映射A ↦ Λ(A)在L∞矩阵值系数空间中是解析的，从而支持泰勒级数展开及后续的系列反演。
• 在投影Fréchet导数可逆的条件下，该方法提供了扰动B的系列数值重建，其收敛阶为O(||B||^{K+1})。
• 对于任意固定的K ∈ ℕ，该方法的计算复杂度由一个与K相关的常数乘以求解线性化逆问题的成本决定，且不依赖于离散化程度。
• 该方法适用于连续模型与光滑化完整电极模型，两种情形下均具有类似的收敛性与复杂度结果。
• 在二维情况下，投影Q可系统性地构造为希尔伯特-施密特算子空间中的正交投影，确保兼容性与稳定性。
• 该方法中所有病态步骤均对应于一阶导数PDΛ(A; ·)P的反演，因此可直接应用线性反问题中已建立的正则化技术。