[论文解读] Serre weights and Breuil's lattice conjecture in dimension three

Daniel Le, Bao V. Le Hung+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 27被引用 3

一句话总结

该论文证明了在非分歧 $p$-进域上对 $\mathfrak{gl}_3$-表示的Breuil格猜想，确立了 $U(3)$-算术流形的完备上同调中格的纯粹局部性——即仅依赖于在 $p$ 上方的素点处的伽罗瓦表示。此外，论文还证明了在潜在晶体形形变中具有 Hodge–Tate 权重 $(2,1,0)$ 的几何 Breuil–Mézard 猜想，并在此设定下验证了 Serre 权重猜想，通过模表示理论与粘合函子将先前结果推广至 $\mathfrak{gl}_3$ 阶。

ABSTRACT

We prove in generic situations that the lattice in a tame type induced by the completed cohomology of a $U(3)$-arithmetic manifold is purely local, i.e., only depends on the Galois representation at places above $p$. This is a generalization to $\mathrm{GL}_3$ of the lattice conjecture of Breuil. In the process, we also prove the geometric Breuil-Mézard conjecture for (tamely) potentially crystalline deformation rings with Hodge-Tate weights $(0,1,2)$ as well as the Serre weight conjectures over an unramified field extending our previous results. We also prove results in modular representation theory about lattices in Deligne-Luzstig representations for the group $\mathrm{GL}_3(\mathbb{F}_q)$.

研究动机与目标

• 将 Breuil 的格猜想从 $\mathfrak{gl}_2$ 推广至非分歧 $p$-进域上的 $\mathfrak{gl}_3$-表示。
• 在 $\mathfrak{gl}_3$ 情形下，证明具有 Hodge–Tate 权重 $(2,1,0)$ 的潜在晶体形形变环的几何 Breuil–Mézard 猜想。
• 在非分歧域上验证 Herzig [Her09] 的 Serre 权重猜想，将 [LLHLM18] 的结果推广至更高秩。
• 通过投射包络与 Weyl 模，对 $\mathfrak{gl}_3(\mathbb{F}_q)$ 的 Deligne–Lusztig 表示中的格结构建立结构性结果。
• 证明 $U(3)$-算术流形的完备上同调实现了 $\mathfrak{gl}_3$ 的纯粹局部 $p$-进 Langlands 对应。

提出的方法

• 使用粘合函子方法，从 $U(3)$-算术流形的完备上同调构造 $p$-进伽罗瓦表示。
• 应用带下降数据的平展 $\mathfrak{gl}$-模理论与半单 Kisin 模理论分析形变环。
• 利用扩展图与类型和 Serre 权重的组合学方法，对可能的格结构进行分类。
• 通过 Frobenius 伴随子与 Weyl 模，构造 $\mathfrak{gl}_3$ 的不可约表示的投射包络。
• 使用权格中的缺陷与距离概念的归纳法，证明 Deligne–Lusztig 表示中格的结构定理。
• 应用 Taylor–Wiles 方法与可解基改变，证明伽罗瓦表示的自守性及上同调的非零性。

实验结果

研究问题

• RQ1 由 $U(3)$-算术流形的完备上同调诱导出的 tame 类型中的格是否仅依赖于 $p$ 上方素点处的局部伽罗瓦表示？
• RQ2 在 $\mathfrak{gl}_3$ 情形下，具有 Hodge–Tate 权重 $(2,1,0)$ 的潜在晶体形变环的几何 Breuil–Mézard 猜想是否成立？
• RQ3 在 $\mathfrak{gl}_3$ 设定下，[Her09] 的 Serre 权重猜想是否在非分歧扩张上成立？
• RQ4 $\mathfrak{gl}_3(\mathbb{F}_q)$ 的 Deligne–Lusztig 表示中格的结构是怎样的，特别是关于投射包络与 Weyl 模？
• RQ5 能否通过 $U(3)$-算术流形的完备上同调实现 $\mathfrak{gl}_3$ 的纯粹局部 $p$-进 Langlands 对应？

主要发现

• 在一般性与最小性假设下，由 $U(3)$-算术流形的完备上同调截取的 tame 类型中的格是纯粹局部的，仅依赖于 $p$ 上方素点处的伽罗瓦表示。
• 在 $\mathfrak{gl}_3$ 情形下，具有 Hodge–Tate 权重 $(2,1,0)$ 的几何 Breuil–Mézard 猜想已得证，表明形变环的分支与 Serre 权重通过 Breuil–Mézard 哲学相匹配。
• 在非分歧域上，[Her09] 的 Serre 权重猜想在 $\mathfrak{gl}_3$ 情形下已验证，将 [LLHLM18] 的结果推广至更高秩。
• $\mathfrak{gl}_3(\mathbb{F}_q)$ 的 Deligne–Lusztig 表示中格的结构已通过投射包络与 Weyl 模完全描述，且通过基于距离的归纳法建立了分类定理。
• 普遍形变环 $R_{\tau}^{\mathrm{univ}}$ 是 $\mathcal{O}_E$ 上的有限代数，意味着存在一个共轭自对称、最小分歧、潜在晶体形的提升 $\overline{r}$，其类型在每个 $\widetilde{v} \in \Sigma_0^+$ 处为 $((0,1,2),\tau_v)$。
• $S(U,\sigma \otimes W)_{\mathfrak{m}}$ 的非零性通过局部-整体相容性得以确立，确认了模 $p$ 上同调中的自守性与重数一。