[论文解读] Seshadri constants via Lelong numbers

Thomas Eckl|ArXiv.org|Aug 29, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文通过利用由线丛倍数的截面诱导的奇异赫米特度量的Lelong数，为丰沛线丛上的Seshadri常数建立了一个新公式。通过将Lelong数与截面在一点处的最小重数相关联，该文导出了Seshadri常数的几何表征，将其应用于计算曲线积的blowup上的常数，推翻了关于极大有理连通商的猜想，并通过线性系统与Cremona变换提出了一种研究Nagata猜想的新方法。

ABSTRACT

One of Demailly's characterizations of Seshadri constants on ample line bundles works with Lelong numbers of certain positive singular hermitian metrics. In this note sections of multiples of the line bundle are used to produce such metrics and then to deduce another formula for Seshadri constants. It is applied to compute Seshadri constants on blown up products of curves, to disprove a conjectured characterization of maximal rationally connected quotients and to introduce a new approach to Nagata's conjecture.

研究动机与目标

• 通过利用由线丛倍数的截面诱导的奇异赫米特度量的Lelong数，为丰沛线丛上的Seshadri常数提供一个新几何公式。
• 通过新公式计算曲线积在r个点处blowup上的Seshadri常数。
• 通过新方法推翻关于极大有理连通商的猜想表征。
• 基于线性系统与Cremona变换，提出一种攻击Nagata猜想的新方法。
• 探索Ciliberto-Miranda递推在提高射影平面r个点处Seshadri常数下界方面的极限。

提出的方法

• 通过|kL|中的非零全纯截面构造丰沛线丛L上的奇异赫米特度量，其曲率电流为iΘh，关联的Lelong数为ν(Θh, x)。
• 利用引理1.1，将度量权ϕ的Lelong数ν(ϕ, x)与截面在x处的最小消失阶数相关联：ν(ϕ, x) = min_j{ord_x σ_j}。
• 建立等价关系ε(L, x) = sup_k { min_i{mult_x D_i} / k }，其中D_i ∈ |kL|，且x在D_1 ∩ … ∩ D_n中孤立。
• 将该公式应用于计算X = C_1 × … × C_r在r个点处blowup上的Seshadri常数，使用具有指定重数的曲线线性系统。
• 使用形变与Cremona变换技术分析ℙ²上的线性系统L_d(n^m)，并通过递推准则证明其非空性与非特殊性。
• 利用ℙ²中r元组互异点参数空间的不可约性，构造具有孤立基点且重数受控的除子。

实验结果

研究问题

• RQ1 Seshadri常数能否通过由线丛倍数截面诱导的奇异赫米特度量的Lelong数来表征？
• RQ2 在r个点处blowup的曲线积上，Seshadri常数是多少？能否通过新公式计算？
• RQ3 通过Lelong数的新方法，能否推翻关于极大有理连通商的猜想表征？
• RQ4 Ciliberto-Miranda递推能否用于提高ℙ²中r = s² + k个点处Seshadri常数的下界？
• RQ5 基于Lelong数与线性系统的该新方法，对ℙ²在r个点处blowup的超平面丛Seshadri常数的Nagata猜想有何贡献？

主要发现

• Seshadri常数ε(L, x)等于对所有k及满足x在D_1 ∩ … ∩ D_n中孤立的除子D_1, ..., D_n ∈ |kL|，取min_i{mult_x D_i}/k的上确界。
• 对于r条曲线在r个点处的blowup，Seshadri常数满足ε(H; x_1, ..., x_r) ≤ 1/√r，且当存在在x_i处具有重数m_i的曲线系统时，该不等式可趋近等号。
• 对于任意r，本文构造了D ∈ |dH|，使得在x_i处有mult_{x_i} D = m_i，且对另一类似除子D'，x_i在D ∩ D'中孤立，从而证明m_i/d_i ≤ ε(H; x_1, ..., x_r)。
• 利用Ciliberto-Miranda递推，构造了满足√r / a ≥ s + 1/2的三元组(r, d_i, m_i)序列，其中r = s² + 1, ..., s² + 4，但对于r = s² + k且5 ≤ k ≤ 2s+1，无法在1/(s+1)之上获得改进。
• 该方法通过Cremona变换与形变技术分析ℙ²上具有指定重数的线性系统，为攻击Nagata猜想提供了新框架。
• ℙ²中r个互异点参数空间的不可约性确保了在每一点处存在具有指定切锥与重数的曲线，从而可在交集中构造出孤立基点。