[论文解读] Sesqui-arrays, a generalisation of triple arrays

R. A. Bailey, Peter J‎. Cameron+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2017

graph theory and CDMA systems参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文提出了半三重数组（sesqui-arrays），作为三重数组的推广，放宽了行-列字母共现条件，同时保持行和列分量设计的平衡性。论文提出了三种新构造方法——基于拉丁方、Sylvester图和双平面结构——为组合设计领域提供了新家族，特别适用于实验设计，以实现统计实验中的最优或近似最优效率。

ABSTRACT

A triple array is a rectangular array containing letters, each letter occurring equally often with no repeats in rows or columns, such that the number of letters common to two rows, two columns, or a row and a column are (possibly different) non-zero constants. Deleting the condition on the letters common to a row and a column gives a double array. We propose the term \emph{sesqui-array} for such an array when only the condition on pairs of columns is deleted. Thus all triple arrays are sesqui-arrays. In this paper we give three constructions for sesqui-arrays. The first gives $(n+1) imes n^2$ arrays on $n(n+1)$ letters for $n\geq 2$. (Such an array for $n=2$ was found by Bagchi.) This construction uses Latin squares. The second uses the \emph{Sylvester graph}, a subgraph of the Hoffman--Singleton graph, to build a good block design for $36$ treatments in $42$ blocks of size~$6$, and then uses this in a $7 imes 36$ sesqui-array for $42$ letters. We also give a construction for $K imes(K-1)(K-2)/2$ sesqui-arrays on $K(K-1)/2$ letters. This construction uses biplanes. It starts with a block of a biplane and produces an array which satisfies the requirements for a sesqui-array except possibly that of having no repeated letters in a row or column. We show that this condition holds if and only if the \emph{Hussain chains} for the selected block contain no $4$-cycles. A sufficient condition for the construction to give a triple array is that each Hussain chain is a union of $3$-cycles; but this condition is not necessary, and we give a few further examples. We also discuss the question of which of these arrays provide good designs for experiments.

研究动机与目标

• 提出并形式化半三重数组的概念，作为三重数组的推广，通过放宽行-列共现条件。
• 开发新的组合构造方法，生成具有理想平衡性和效率特性的半三重数组，以适用于实验设计。
• 研究这些数组在统计实验中产生最优或近似最优设计的条件。
• 探讨双平面结构与半三重数组构造之间的关系，特别关注Hussain链性质。
• 在标准统计准则（如A-、E-和D-最优性）下评估半三重数组的最优性，适用于实验设计场景。

提出的方法

• 利用拉丁方导出的正交数组，构造$(n+1) \times n^2$的半三重数组，使用$n(n+1)$个字母，适用于$n \geq 2$。
• 利用Sylvester图——Hoffman–Singleton图的一个子图——构建一个$7 \times 36$的半三重数组，基于一个$36 \times 42$的块设计，块大小为6。
• 利用双平面结构生成$K \times \frac{(K-1)(K-2)}{2}$的半三重数组，使用$\frac{K(K-1)}{2}$个字母，起点为双平面的一个块。
• 应用条件：所选双平面块的Hussain链中不包含4-圈，以确保行或列中无重复字母。
• 使用矩阵条件$N_{RL}N_{LC} = \lambda_{rc} \cdot J$以强制实现调整正交性，这是统计最优性的关键属性。
• 分析分量设计$\Delta_{R(L)}$和$\Delta_{C(L)}$的平衡性与最优性，将其与统计效率准则相联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于双平面的构造，产生无行或列中重复字母的有效半三重数组的必要且充分条件是什么？
• RQ2 除了已知情况外，半三重数组中字母出现次数$k$的哪些值是可实现的？
• RQ3 所有双数组是否都满足不等式$\frac{1}{\mu_{ARC}} \geq \frac{1}{\mu_{AR}} + \frac{1}{\mu_{AC}} - 1$？若否，半三重数组需满足何种约束？
• RQ4 非同构的双平面是否可能产生非同构的三数组或半三重数组，特别是在对称情形如$6 \times 10$情况下？
• RQ5 在半三重数组中，列分量设计$\Delta_{C(L)}$受何种较弱的不等式或结构约束控制？

主要发现

• 基于拉丁方的构造方法，对所有$n \geq 2$，可生成$(n+1) \times n^2$的半三重数组，使用$n(n+1)$个字母，推广了Bagchi给出的已知$n=2$情形。
• Sylvester图构造产生一个$7 \times 36$的半三重数组，使用42个字母，基于一个36种处理、42个块、块大小为6的设计，该设计源自图的结构。
• 基于双平面的构造生成$K \times \frac{(K-1)(K-2)}{2}$的半三重数组，使用$\frac{K(K-1)}{2}$个字母，无重复字母的条件等价于Hussain链中无4-圈。
• 此类构造产生三重数组的充分条件是所有Hussain链均为3-圈的并集，尽管该条件非必要。
• 本文证实，调整正交性与最优分量设计（$\Delta_{L(R)}$ 和 $\Delta_{L(C)}$）可导致整体最优设计$\Delta_{L(R,C)}$，尤其在一般平衡成立时。
• 理论结果表明，在具有调整正交性的设计中，实现整体A-最优性的最佳策略是确保两个分量设计均为A-最优，尽管在缺乏一般平衡时可能存在例外。