[论文解读] Set Cover in Sub-linear Time

Piotr Indyk, Sepideh Mahabadi+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 3

一句话总结

本文研究了集合覆問題的亞線性時間演算法，提出了一種新型基於查詢的解決方法，實現了近乎最佳的近似保證。本文確立了緊緻的查詢複雜度界限——顯示 $\widetilde{O}(m(n/k)^{1/(\alpha-1)} + nk)$ 個查詢足以獲得 $\alpha$-近似覆蓋，同時證明了即使在亞線性區間內，估算最佳覆蓋大小的近乎匹配下界為 $\widetilde{\Omega}(m(n/k)^{1/(2\alpha)})$。

ABSTRACT

We study the classic set cover problem from the perspective of sub-linear algorithms. Given access to a collection of $m$ sets over $n$ elements in the query model, we show that sub-linear algorithms derived from existing techniques have almost tight query complexities. On one hand, first we show an adaptation of the streaming algorithm presented in Har-Peled et al. [2016] to the sub-linear query model, that returns an $α$-approximate cover using $ ilde{O}(m(n/k)^{1/(α-1)} + nk)$ queries to the input, where $k$ denotes the value of a minimum set cover. We then complement this upper bound by proving that for lower values of $k$, the required number of queries is $ ildeΩ(m(n/k)^{1/(2α)})$, even for estimating the optimal cover size. Moreover, we prove that even checking whether a given collection of sets covers all the elements would require $Ω(nk)$ queries. These two lower bounds provide strong evidence that the upper bound is almost tight for certain values of the parameter $k$. On the other hand, we show that this bound is not optimal for larger values of the parameter $k$, as there exists a $(1+\varepsilon)$-approximation algorithm with $ ilde{O}(mn/k\varepsilon^2)$ queries. We show that this bound is essentially tight for sufficiently small constant $\varepsilon$, by establishing a lower bound of $ ildeΩ(mn/k)$ query complexity.

研究动机与目标

• 探討在僅具備對輸入的查詢存取的情況下，於亞線性時間內解決集合覆蓋問題的可行性與複雜度。
• 建立近似最小集合覆蓋所需查詢數量的近乎緊緻上下界。
• 分析近似覆蓋與驗證覆蓋的查詢複雜度，特別是針對最佳覆蓋大小 $k$ 的小值與大值情形。
• 發展一種機率構造技術，用於生成難度高的實例，從而為亞線性演算法建立強大的下界。

提出的方法

• 將 [17] 中的串流演算法適應至亞線性查詢模型，採用基於資料庫的存取模型，使用 EltOf 與 SetOf 查詢介面來檢索集合-元素的成員關係。
• 設計一組集合系統的機率構造，其中僅需少量精心選擇的交換操作，即可將最小集合覆蓋大小從 $\alpha k$ 顯著降低至 $k$，使此類變更在未進行大量查詢的情況下極難察覺。
• 應用 Yao's 原理，透過構造兩組實例分佈（Yes 與 No）來證明下界，使得在少數查詢下難以區分兩者。
• 基於瓮模型的分層分析方法，用以界定在各層（slab）中偵測到交換的機率，其中每一層代表對集合系統的一種可能修改。
• 確立當 $\varepsilon$ 為足夠小的常數時，$(1+\varepsilon)$-近似所需的查詢複雜度下界為 $\widetilde{\Omega}(mn/k)$，並顯示此下界近乎緊緻。
• 證明驗證給定集合集合是否覆蓋所有元素，至少需要 $\Omega(nk)$ 個查詢，突顯即使在亞線性時間內進行基本覆蓋檢查也極具挑戰。

实验结果

研究问题

• RQ1 在亞線性時間內計算 $\alpha$-近似集合覆蓋，最少需要多少查詢？
• RQ2 當最佳覆蓋大小 $k$ 較大時，能否實現更佳的查詢複雜度？
• RQ3 即使不構造覆蓋本身，估算最小集合覆蓋大小的查詢複雜度為何？
• RQ4 是否能以亞線性查詢數量驗證給定集合集合是否覆蓋整個全域？
• RQ5 在組合最佳化問題中，可使用哪些機率構造來為亞線性演算法證明強大的下界？

主要发现

• 可透過 $\widetilde{O}(m(n/k)^{1/(\alpha-1)} + nk)$ 個查詢計算出 $\alpha$-近似集合覆蓋，此結果與亞線性模型中此問題的最佳已知上界一致。
• 針對估算最佳覆蓋大小，證明了近乎匹配的下界 $\widetilde{\Omega}(m(n/k)^{1/(2\alpha)})$ 個查詢，即使僅需估算大小亦成立。
• 覆蓋驗證問題——即檢查給定集合集合是否覆蓋所有元素——至少需要 $\Omega(nk)$ 個查詢，顯示即使基本的覆蓋檢查在亞線性時間內亦極具挑戰。
• 對於 $(1+\varepsilon)$-近似且 $\varepsilon$ 為小常數的情形，演算法需要 $\widetilde{O}(mn/k\varepsilon^2)$ 個查詢，且此下界近乎緊緻，因存在 $\widetilde{\Omega}(mn/k)$ 的下界。
• 透過機率構造難度高的實例，其中僅需少量交換即可將最小覆蓋大小由 $\alpha k$ 降低至 $k$，使修改難以察覺，進而能建立強大的下界。
• 在結構化集合系統中使用「近乎均勻分佈」的修改技術，提供了一般性框架，可能適用於其他組合最佳化問題的下界分析。