[论文解读] Set Covering Problems with General Objective Functions

Jean Cardinal, Christophe Dumeunier|ArXiv.org|Feb 15, 2008

Optimization and Search Problems参考文献 26被引用 4

一句话总结

本文引入了一个广义集合覆盖问题，旨在通过参数 $ p $ 最大化地面集划分中各部分大小的广义均值。证明了贪心算法对所有 $ p > 0 $ 的近似比为 $ (p+1)^{1/p} $，该结果在 P ≠ NP 的假设下是紧致的，统一并扩展了最小集合覆盖、最小熵集合覆盖以及最大边团划分问题的结果。

ABSTRACT

We introduce a parameterized version of set cover that generalizes several previously studied problems. Given a ground set V and a collection of subsets S_i of V, a feasible solution is a partition of V such that each subset of the partition is included in one of the S_i. The problem involves maximizing the mean subset size of the partition, where the mean is the generalized mean of parameter p, taken over the elements. For p=-1, the problem is equivalent to the classical minimum set cover problem. For p=0, it is equivalent to the minimum entropy set cover problem, introduced by Halperin and Karp. For p=1, the problem includes the maximum-edge clique partition problem as a special case. We prove that the greedy algorithm simultaneously approximates the problem within a factor of (p+1)^1/p for any p in R^+, and that this is the best possible unless P=NP. These results both generalize and simplify previous results for special cases. We also consider the corresponding graph coloring problem, and prove several tractability and inapproximability results. Finally, we consider a further generalization of the set cover problem in which we aim at minimizing the sum of some concave function of the part sizes. As an application, we derive an approximation ratio for a Rent-or-Buy set cover problem.

研究动机与目标

• 将经典的集合覆盖问题（如最小集合覆盖、最小熵集合覆盖和最大边团划分）统一并推广到一个单一的参数化框架下。
• 分析贪心算法在具有广义均值目标函数（参数为 $ p $）的广义集合覆盖问题上的性能。
• 在所有正实数 $ p $ 下建立贪心算法的紧致近似保证，并在标准复杂度假设下证明其最优性。
• 将该框架扩展至一般的凹成本函数，并应用于新问题如租用或购买集合覆盖。
• 推导该广义成本模型下图着色变体的近似比，特别是对完美图和爪形图的情形。

提出的方法

• 形式化了一类新的集合覆盖问题，其目标是最大化广义均值 $ M_p = \left( \frac{1}{n} \sum_{v \in V} a_v^p \right)^{1/p} $，其中 $ a_v $ 表示包含元素 $ v $ 的部分的大小。
• 应用贪心算法：在每一步中，将一个未被覆盖的元素分配给能使其在 $ p $-均值目标上获得最大边际增益的子集。
• 基于每个元素的成本 $ \frac{f(a_v)}{a_v} $（其中 $ f(c_i) = -c_i^{p+1} $）使用对偶拟合论证，以界定近似比。
• 证明贪心算法对所有 $ p > 0 $ 的近似比为 $ (p+1)^{1/p} $，采用基于调和均值的分析和凸性论证。
• 将框架扩展至一般的凹成本函数 $ f(c_i) $，证明贪心算法的近似比受 $ \max_c \left\{ \frac{1}{f(c)} \sum_{j=1}^c \frac{f(j)}{j} \right\} $ 限制。
• 将一般结果应用于具有分段成本函数 $ f(c) = \min\{ c/(\beta n), 1 \} $ 的租用或购买集合覆盖问题，推导出 $ 1 - \ln \beta $ 的近似比。

实验结果

研究问题

• RQ1 贪心算法能否普遍应用于由广义均值目标参数化的广泛集合覆盖问题类，其近似保证为何？
• RQ2 近似比 $ (p+1)^{1/p} $ 是否对所有 $ p > 0 $ 的广义均值集合覆盖问题都是紧致的，且是否能统一已知的特殊情况结果？
• RQ3 贪心算法在具有部分大小上一般凹成本函数的更广泛集合覆盖问题类上的表现如何？
• RQ4 该广义框架能否应用于实际问题如租用或购买集合覆盖问题，且能保证何种近似比？
• RQ5 在该广义目标下，对应的图着色变体的可解性与不可近似性边界为何？

主要发现

• 贪心算法对所有 $ p > 0 $ 的最大 $ p $-均值集合覆盖问题实现了 $ (p+1)^{1/p} $ 的近似比，且该界在 P ≠ NP 的假设下是紧致的。
• 当 $ p = -1 $ 时，问题退化为经典最小集合覆盖问题，贪心算法达到已知的 $ H_{\max |S_i|} $ 近似比。
• 当 $ p = 0 $ 时，问题对应最小熵集合覆盖问题，贪心算法达到与先前已知结果相同的近似比。
• 当 $ p = 1 $ 时，问题包含最大边团划分问题作为特例，贪心算法提供常数因子近似。
• 针对部分大小的凹函数 $ f(c_i) $ 之和的最小化问题，该通用框架可导出一个多项式时间近似算法，其近似比为 $ \max_c \left\{ \frac{1}{f(c)} \sum_{j=1}^c \frac{f(j)}{j} \right\} $。
• 对于具有成本函数 $ f(c) = \min\{ c/(\beta n), 1 \} $ 的租用或购买集合覆盖问题，贪心算法实现了 $ 1 - \ln \beta $ 的近似比，当 $ w(V) \leq e $ 时优于先前的 2-近似结果。