[论文解读] Set Families with Low Pairwise Intersection

Calvin Beideman, Jeremiah Blocki|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2014

Cryptography and Data Security参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文利用数论和拉马努金素数的技术，提出了弱 $(n, \theta, \nu)$-共享集合族的显式构造，当 $n = 4\theta^2\ln 4\theta$ 时，族的大小为 $(2\theta \ln 2\theta)^{\nu+1}$，与 Raz 等人非显式构造的性能相匹配。该构造支持低内存、可并行化的伪随机数生成器，并在各种参数配置下建立了此类族最大大小的紧致界。

ABSTRACT

A $\left(n,\ell,γ ight)$-sharing set family of size $m$ is a family of sets $S_1,\ldots,S_m\subseteq [n]$ s.t. each set has size $\ell$ and each pair of sets shares at most $γ$ elements. We let $m\left(n,\ell,γ ight)$ denote the maximum size of any such set family and we consider the following question: How large can $m\left(n,\ell,γ ight)$ be? $\left(n,\ell,γ ight)$-sharing set families have a rich set of applications including the construction of pseudorandom number generators and usable and secure password management schemes. We analyze the explicit construction of Blocki et al using recent bounds on the value of the $t$'th Ramanujan prime. We show that this explicit construction produces a $\left(4\ell^2\ln 4\ell,\ell,γ ight)$-sharing set family of size $\left(2 \ell \ln 2\ell ight)^{γ+1}$ for any $\ell\geq γ$. We also show that the construction of Blocki et al can be used to obtain a weak $\left(n,\ell,γ ight)$-sharing set family of size $m$ for any $m >0$. These results are competitive with the inexplicit construction of Raz et al for weak $\left(n,\ell,γ ight)$-sharing families. We show that our explicit construction of weak $\left(n,\ell,γ ight)$-sharing set families can be used to obtain a parallelizable pseudorandom number generator with a low memory footprint by using the pseudorandom number generator of Nisan and Wigderson. We also prove that $m\left(n,n/c_1,c_2n ight)$ must be a constant whenever $c_2 \leq \frac{2}{c_1^3+c_1^2}$. We show that this bound is nearly tight as $m\left(n,n/c_1,c_2n ight)$ grows exponentially fast whenever $c_2 > c_1^{-2}$.

研究动机与目标

• 为伪随机数生成和密码管理应用，开发一种显式、高效的弱 $(n, \theta, \nu)$-共享集合族构造。
• 利用拉马努金素数的最新界分析 Blocki 等人的构造，以建立紧致的参数权衡。
• 证明当 $c_2 \leq 2/(c_1^3 + c_1^2)$ 时，$m(n, n/c_1, c_2 n)$ 为常数，且当 $c_2 > 1/c_1^2$ 时呈指数增长，揭示族大小的阈值行为。
• 证明显式构造在弱集合族上的性能与 Raz 等人非显式构造相匹配。
• 在各种参数配置下，为具有有界两两交集的集合族的最大大小提供紧致渐近界。

提出的方法

• 利用对第 $t$ 个拉马努金素数的最新界，分析 Blocki 等人针对 $(n, \theta, \nu)$-共享集合族的显式构造。
• 通过模剩余类上的随机选择过程，为 $n = 4\theta^2 \ln 4\theta$ 构造一个大小为 $(2\theta \ln 2\theta)^{\nu+1}$ 的弱 $(n, \theta, \nu)$-共享集合族。
• 利用切尔诺夫不等式和联合界证明，从等差数列中随机选择集合时，两两交集至多为 $\nu$ 的概率非零。
• 应用 Nisan-Wigderson 框架，从构造的集合族构建一个可并行化的伪随机数生成器，通过小电路实现显式索引计算，从而实现低内存使用。
• 运用极值组合学与概率方法，在密集参数配置下（特别是当 $\theta = n/c_1$ 且 $\nu = c_2 n$ 时）证明 $m(n, \theta, \nu)$ 的上下界。
• 采用基于素数乘积的构造方法，选择具有有界两两最大公因数的整数，支持对集合族大小的极值界推导。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种显式构造弱 $(n, \theta, \nu)$-共享集合族的方法，使其性能与 Raz 等人非显式构造相匹配？
• RQ2 在密集参数配置下，当每个集合大小为 $\theta$，且任意两个集合交集至多为 $\nu$ 个元素时，集合族的最大大小 $m(n, \theta, \nu)$ 是多少？
• RQ3 当 $c_1$ 和 $c_2$ 变化时，$m(n, n/c_1, c_2 n)$ 如何变化，特别是在常数增长与指数增长之间的阈值区域？
• RQ4 能否利用拉马努金素数界对 Blocki 等人的构造进行严格分析，以推导出族大小的显式紧致界？
• RQ5 当 $c_2 \leq 2/(c_1^3 + c_1^2)$ 时，上界 $m(n, n/c_1, c_2 n) = \text{const}$ 是否紧致？当 $c_2$ 增大时，族大小如何过渡到指数增长？

主要发现

• 为 $n = 4\theta^2 \ln 4\theta$ 构造了一个大小为 $(2\theta \ln 2\theta)^{\nu+1}$ 的显式弱 $(n, \theta, \nu)$-共享集合族，其性能与 Raz 等人针对弱族的非显式构造完全匹配。
• 该构造通过小电路实时计算集合索引，支持低内存足迹的可并行化伪随机数生成器。
• 证明当 $c_2 \leq 2/(c_1^3 + c_1^2)$ 时，$m(n, n/c_1, c_2 n)$ 为常数，确立了常数大小族的锐利阈值。
• 当 $c_2 > 1/c_1^2$ 时，族大小 $m(n, n/c_1, c_2 n)$ 呈指数增长，表明上界几乎紧致。
• 证明了当 $\theta \geq \nu+1$ 时，$m(n, \theta, \nu) \geq m(n, \theta+1, \nu)$，意味着当 $\nu \leq n/2$ 时，此类族的最大大小在 $\theta = \nu+1$ 处取得，大小为 ${n \choose \nu+1}$；当 $\nu \geq n/2$ 时，在 $\theta = \nu$ 处取得，大小为 ${n \choose \nu}$。
• 基于模 $c_1$ 的剩余类的随机构造在 $\nu > n/c_1^2$ 时产生大小为指数级的 $(n, \theta, \nu)$-共享集合族，证明了此类族以非零概率存在。