[论文解读] Set-theoretic problems concerning Lindelof spaces

Franklin D. Tall|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2011

Advanced Topology and Set Theory参考文献 31被引用 6

一句话总结

本文综述了关于Lindelöf空间的长期存在的集合论问题，重点关注可积Lindelöf、Alster、Menger和D-空间之间的相互作用。通过使用力迫、大基数和投影方法，本文证明在CH或大基数假设下，可积Lindelöf空间是Menger空间，因而也是D-空间，同时探讨了Lindelöf子空间和力迫扩张下拓扑性质的一致性结果。

ABSTRACT

I survey problems concerning Lindelof spaces which have partial set- theoretic solutions.

研究动机与目标

• 综述通过力迫和大基数方法获得部分解答的、关于Lindelöf空间的未解决集合论问题。
• 研究可积Lindelöf空间是否必然为Alster空间或D-空间，特别是在CH或大基数假设下。
• 探讨在更大的Lindelöf空间中是否存在大小为ℵ₁的Lindelöf子空间，特别是力迫扩张下。
• 考察Lindelöf数在Gδ拓扑下以及Lindelöf空间乘积中的行为。
• 确定诸如Menger或D-空间等拓扑性质是否可通过力迫和初等子模型等集合论方法得以保持或诱导。

提出的方法

• 使用力迫扩张（例如CH、GCH、Kunen坍缩）构造模型，使得Menger或D-空间等拓扑性质成立。
• 应用大基数嵌入（例如超紧致、巨大基数）分析力迫下Lindelöf性的保持性，并构造大小为ℵ₁的子空间。
• 利用初等子模型和泛函嵌入分析力迫扩张下空间的像及其拓扑性质。
• 利用投影性质（例如投影σ-紧致、投影Menger）通过连续像将结果从度量空间转移到一般Lindelöf空间。
• 利用对角积构造方法，将可分度量像中的覆盖提升回原空间。
• 应用Arhangel’skiĭ的连续像方法，将一般Lindelöf问题约化为度量设定，使已知的覆盖性质（例如Menger）得以应用。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个可积Lindelöf空间是否也是强可积Lindelöf空间？
• RQ2 每个可积Lindelöf空间是否满足Alster性质？
• RQ3 每个大小为ℵ₁的Lindelöf空间是否满足D-空间性质？
• RQ4 在ZFC下或在大基数假设下，每个大小为ℵ₂的Lindelöf空间是否必有大小为ℵ₁的Lindelöf子空间？
• RQ5 在ZFC中，Lindelöf空间上Gδ拓扑的Lindelöf数是否可能超过2^ℵ₀？

主要发现

• CH表明每个可积Lindelöf空间都是Menger空间，因而也是D-空间。
• CH表明每个权≤ℵ₁的可积Lindelöf空间都是Alster空间，因此既是可积Lindelöf也是强可积Lindelöf。
• 在超紧致基数假设下，GCH一致成立，每个大小为ℵ₂、特征≤ℵ₁的Rothberger空间都有一个大小为ℵ₁的Rothberger子空间。
• 在巨大基数假设下，GCH一致成立，每个大小为ℵ₂、第一可数的Lindelöf空间都有一个大小为ℵ₁的Lindelöf子空间。
• 两个Lindelöf空间的乘积的Lindelöf数可能超过2^ℵ₀，这一结论由Shelah证明并由Garti简化，但目前尚未在ZFC中找到具体例子。
• 一致成立的是，每个不可数的可数紧致空间都有一个大小为ℵ₁的Lindelöf子空间，尽管在ZFC中该问题仍悬而未决。