[论文解读] Set theories mutually interpretable with higher order arithmetic

Colin McLarty|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2012

Advanced Decision-Making Techniques被引用 1

一句话总结

本文形式化并证明了一个长期存在的民间定理，通过建立高阶算术与具有受限幂集公理的特定集合论之间的相互解释关系，证明了这些系统具有等价的证明论强度。该研究在基于ZF的系统中提供了精确的公理化，以澄清高阶算术与有限集合论之间的逻辑等价性。

ABSTRACT

A folk theorem says higher order arithmetic has the proof theoretic strength of set theory with limited power set. This paper makes the theorem precise in terms of several axiom system based on ZF.

研究动机与目标

• 形式化并证明一个长期存在的民间定理，该定理将高阶算术与具有有限幂集的集合论联系起来。
• 在策梅洛-弗兰克尔集合论中识别出精确的公理系统，以捕捉高阶算术的证明论强度。
• 在高阶算术与集合论的特定片段之间建立相互解释关系，从而澄清其逻辑等价性。
• 阐明类型论系统（高阶算术）与具有受限概括的集合论系统之间的基础关系。

提出的方法

• 将高阶算术形式化为一个类型理论系统，包含所有有限类型的完整概括公理。
• 构建一个基于ZF的集合论，其幂集公理受到限制，仅在某些层级上允许幂集的存在。
• 定义从高阶算术到受限集合论的翻译，保持真值与可证性不变。
• 定义从受限集合论到高阶算术的反向翻译，确保双向解释性。
• 证明两个系统之间具有相互解释性，即每个系统都能形式化另一个系统的定理。
• 使用证明论技术比较两个系统的相对一致性和证明论序数。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有有限幂集公理的ZF集合论的哪个精确片段与高阶算术具有相同的证明论强度？
• RQ2 高阶算术能否与一个避免完整幂集公理的集合论相互解释？
• RQ3 类型论系统与具有受限概括的集合论系统之间的确切逻辑关系是什么？
• RQ4 如何在形式上建立高阶算术与这类受限集合论之间的相互解释关系？

主要发现

• 本文建立了高阶算术与一个仅包含受限幂集公理的基于ZF的集合论之间的相互解释关系。
• 在所定义的翻译下，受限集合论证明了高阶算术的所有定理，反之亦然。
• 证明了高阶算术的证明论强度与受限集合论等价，从而证实了民间定理。
• 该构造表明，完整幂集公理并非捕捉高阶算术强度所必需。