[论文解读] Set valued integrability in non separable Fréchet spaces and applications

Luisa Di Piazza, Valeria Marraffa+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2015

Advanced Banach Space Theory参考文献 11被引用 6

一句话总结

本文在非可分的弗雷歇空间中建立了集值可积性理论，证明了可测多值函数类之间的等价性，并对佩蒂斯可积性进行了表征。该理论被应用于通过卡库塔尼不动点定理证明伏尔泰拉积分包含解的存在性，将先前的工作扩展至非可分、非赋范的无限维设定，这对微分包含和偏微分方程至关重要。

ABSTRACT

We focus on measurability and integrability for set valued functions in non-necessarily separable Fréchet spaces. We prove some properties concerning the equivalence between different classes of measurable multifunctions. We also provide useful characterizations of Pettis set-valued integrability in the announced framework. Finally, we indicate applications to Volterra integral inclusions.

研究动机与目标

• 在经典可分性假设不成立的非可分弗雷歇空间中，发展可测与可积多值函数的完整理论。
• 澄清并建立局部凸空间中不同集值可测性概念之间的等价关系。
• 为非可分弗雷歇空间中的佩蒂斯集值可积性提供新的表征。
• 将所发展的理论应用于证明无限维设定下伏尔泰拉积分包含解的存在性。
• 将微分包含的适用性扩展至非可分弗雷歇空间，这类空间在偏微分方程和无限维常微分方程组中十分常见。

提出的方法

• 作者通过可数个半范数族定义弗雷歇空间的投影极限结构，以构造拓扑与度量，包括闭凸集上的豪斯多夫度量。
• 利用弱拓扑定义可测多值函数，并通过基于半范数的过剩与收敛条件将其与佩蒂斯可积性联系起来。
• 论文证明了集值函数的广义佩蒂斯可测性定理，在适当条件下建立了强可测性与弱可测性的等价性。
• 通过对偶空间与极集，利用一致可积性与半范数收敛来表征佩蒂斯可积性。
• 伏尔泰拉包含的存在性结果依赖于在连续函数空间上构造一个多值算子，并应用卡库塔尼不动点定理。
• 通过阿斯科利定理建立解集的紧性，利用等度连续性与弗雷歇空间中的相对紧性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非可分弗雷歇空间中取值的多值函数，其佩蒂斯可积性的必要与充分条件是什么？
• RQ2 在非可分弗雷歇空间中，不同集值可测性概念（如弱可测、强可测、伯克霍夫可测）之间有何关系？
• RQ3 佩蒂斯可测性定理能否推广至非可分弗雷歇空间中的集值函数？
• RQ4 在非可分弗雷歇空间中，伏尔泰拉积分包含在何种条件下存在连续解？
• RQ5 在此无限维设定下，博赫纳可积性、佩蒂斯可积性与伪微分性之间有何关系？

主要发现

• 本文在非可分弗雷歇空间中建立了各种可测多值函数类之间的等价性，将经典结果推广至非可分设定。
• 为集值函数证明了佩蒂斯可测性定理的新版本，其在非可分巴拿赫空间中依然成立。
• 通过使用对偶空间与极集，利用一致可积性与半范数收敛，表征了多值函数的佩蒂斯可积性。
• 证明了解集非空、紧致且等度连续，从而通过卡库塔尼不动点定理确保了解的存在性。
• 在较弱假设下解存在：核的佩蒂斯可积性以及多值函数在豪斯多夫度量下的上半连续性。
• 通过伪导数，结果可推广至微分包含，从而在连续函数空间中至少存在一个伪可微解。