[论文解读] Sets of Fractional Operators and Numerical Estimation of the Order of Convergence of a Family of Fractional Fixed-Point Methods

A. Torres-Hernandez, F. Brambila-Paz|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2021

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 37被引用 17

一句话总结

本文提出了一种新颖的框架——集合的分数阶微积分——通过集合对分数阶算子进行分类，以推广传统微积分中的对象，如张量算子、热方程和不动点方法。证明了每个收敛的分数阶不动点方法都会生成一个不可数的此类方法族，并提出一种数值方法，通过标量函数的临界点分析来估计收敛的平均阶数。

ABSTRACT

Considering the large number of fractional operators that exist, and since it does not seem that their number will stop increasing soon at the time of writing this paper, it is presented for the first time, as far as the authors know, a simple and compact method to work the fractional calculus through the classification of fractional operators using sets. This new method of working with fractional operators, which may be called fractional calculus of sets, allows generalizing objects of conventional calculus, such as tensor operators, the Taylor series of a vector-valued function, and the fixed-point method, in several variables, which allows generating the method known as the fractional fixed-point method. Furthermore, it is also shown that each fractional fixed-point method that generates a convergent sequence has the ability to generate an uncountable family of fractional fixed-point methods that generate convergent sequences. So, it is presented a method to estimate numerically in a region Ω the mean order of convergence of any fractional fixed-point method, and it is shown how to construct a hybrid fractional iterative method to determine the critical points of a scalar function. Finally, considering that the proposed method to classify fractional operators through sets allows generalizing the existing results of the fractional calculus, some examples are shown of how to define families of fractional operators that satisfy some property to ensure the validity of the results to be generalized.

研究动机与目标

• 通过基于集合的分类简化并统一分数阶算子的研究。
• 在分数阶框架内推广经典微积分对象，如热方程、泰勒级数和不动点方法。
• 证明每个收敛的分数阶不动点方法都会生成一个不可数的收敛方法族。
• 开发一种数值方法，用于估计在区域 Ω 内分数阶不动点方法的平均收敛阶数。
• 构建一种混合分数阶迭代方法，用于寻找标量函数的临界点。

提出的方法

• 使用集合对分数阶算子进行分类，将 Onx,α(h) 定义为当 α→n 时收敛于传统导数的算子集合。
• 构建分数阶张量算子的生成集合，并将其组合以定义新的算子集合，如 Wn t,x,α(h)，用于偏微分方程。
• 利用分数阶算子的极限恢复经典方程：当 n=(1,1,1) 时，limα→n wα t,x h = (∂t − ∇²)h；当 n=(2,1,1) 时，limα→n wα t,x h = (∂²t − ∇²)h。
• 在多变量中应用不动点方法，以生成分数阶不动点方法。
• 通过将问题简化为寻找标量函数临界点的问题，推导出一种用于估计平均收敛阶数的数值估计技术。
• 提出一种混合分数阶迭代方法，利用分数阶不动点迭代的收敛行为来定位标量函数的临界点。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过集合论在分数阶微积分中系统地对分数阶算子进行分类和推广？
• RQ2 多变量中的不动点方法能否扩展到分数阶？由此产生的分数阶不动点方法具有哪些性质？
• RQ3 分数阶不动点方法的收敛性与存在一个不可数的此类收敛方法族之间有何关系？
• RQ4 如何在给定区域 Ω 内数值估计分数阶不动点方法的平均收敛阶数？
• RQ5 寻找标量函数临界点的问题能否通过混合分数阶迭代方法重新表述并求解？

主要发现

• 基于集合的分数阶算子分类方法使得经典微积分对象（包括热方程和扩散方程）可通过分数阶算子在 α→n 时的极限得到推广。
• 每个收敛的分数阶不动点方法都会生成一个不可数的收敛分数阶不动点方法族，如定理 4.1 所证明。
• 任何在区域 Ω 内的分数阶不动点方法的平均收敛阶数，均可通过求解导出的标量函数的临界点问题来数值估计。
• 该数值估计方法通过收敛性分析得到验证，计算出的 Pi 值（例如 P≈2.0994）位于球 B(p;δK) 内，证实了该方法的一致性。
• 成功构建了一种混合分数阶迭代方法，用于确定标量函数的临界点，其收敛行为在多个测试案例中得到验证。
• 该框架支持构建新的分数阶微分方程，并提示存在一个更广泛的理论——集合的分数阶微积分——能够统一并扩展当前的分数阶微积分理论。