[论文解读] Sets of large dimension not containing polynomial configurations

András Máthé|Repository of the Academy's Library (Library of the Hungarian Academy of Sciences)|Jan 2, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文提出一种通用方法，用于在 $ℝ^n$ 中构造具有 Hausdorff 维数 $n/d$ 的紧致集合，使其避开由可数个具有有理系数的多元多项式定义的有限点构型，且多项式的最大次数为 $d$。主要贡献在于提出一种构造性框架，可生成避开特定几何构型（如角度、距离或共线点）的集合，同时实现最优维数界限，包括构造出维数为 $n/2$ 的集合以避开直角 $\pi/2$，以及维数为 $n/8$ 的集合以避开任意给定角度。

ABSTRACT

The main result of this paper is the following. Given countably many multivariate polynomials with rational coefficients and maximum degree $d$, we construct a compact set $E\subset \R^n$ of Hausdorff dimension $n/d$ which does not contain finite point configurations corresponding to the zero sets of the given polynomials. Given a set $E\subset \R^n$, we study the angles determined by three points of $E$. The main result implies the existence of a compact set in $\R^n$ of Hausdorff dimension $n/2$ which does not contain the angle $π/2$. (This is known to be sharp if $n$ is even.) We show that there is a compact set of Hausdorff dimension $n/8$ which does not contain an angle in any given countable set. We also construct a compact set $E\subset \R^n$ of Hausdorff dimension $n/6$ for which the set of angles determined by $E$ is Lebesgue null. In the other direction, we present a result that every set of sufficiently large dimension contains an angle $ε$ close to any given angle.

研究动机与目标

• 开发一种在 $ℝ^n$ 中构造具有可控 Hausdorff 维数的紧致集合的一般方法，使其避开由具有有理系数的多元多项式定义的有限点构型。
• 解决关于集合需具备最小维数以包含特定角度或距离构型的开放问题。
• 通过构造维数为 $n/2$ 且距离集为 Lebesgue 零测度的集合（并附加排除条件，如无有理距离、无共线点）来加强 Falconer 的距离集猜想。
• 提供避开特定角度（包括 $\pi/2$、$\pi/3$ 和 $2\pi/3$）的精确维数阈值，并证明即使对无理角度，此类排除也是可能的。

提出的方法

• 通过使用 dyadic 球和质量分布原理的递归测度论构造，构建一列递减的紧致集合 $F^k$。
• 利用参数化集合族 $E_j''$ 和参数 $b_j$、$h_j$、$r_j$ 的嵌套构造，以控制极限集合的密度与维数。
• 通过确保在每一阶段均排除此类构型，保证对于任意给定的 $d$ 次多项式 $P_j$，最终集合 $F$ 中不存在满足 $P_j = 0$ 的 $m_j$-元组点。
• 关键步骤涉及通过 $h_j$、$b_j$ 和 $r$ 的估计，控制半径为 $r$ 的球与当前集合的交点数量，从而通过质量分布原理得出维数上界。
• 该方法适用于定义角度（如 $\langle y-x,z-x\rangle = 0$ 表示 $\pi/2$）的 $3n$ 个变量的多项式，并可通过代数逼近扩展至有理余弦值甚至无理角度。
• 最终证明集合 $F$ 的 Hausdorff 维数至少为 $n/d$，通过证明相关概率测度 $\mu$ 满足 $\mu(B(x,r)) \leq C r^{n/d} (\log r^{-1})^{n+1}$，从而得出维数下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{R}^n$ 中，避开给定角度 $\alpha$ 的紧致集合的最小 Hausdorff 维数是多少？
• RQ2 能否构造一个维数为 $n/2$ 的集合以避开直角 $\pi/2$，且该维数是否最优？
• RQ3 能否构造一个维数为 $n/8$ 的集合，使其避开任意给定角度 $\alpha \in [0,\pi]$？
• RQ4 能否构造一个维数为 $n/6$ 的集合，使其角度集合的 Lebesgue 测度为零？
• RQ5 在 $\mathbb{R}^n$ 中，避开所有有理距离和共线点的 Borel 集的最大可能维数是多少？

主要发现

• 存在一个紧致集合 $E \subset \mathbb{R}^n$，其 Hausdorff 维数为 $n/2$，且不包含角度 $\pi/2$，当 $n$ 为偶数时，该界限是紧确的。
• 对于任意可数个角度的集合，存在一个紧致集合，其 Hausdorff 维数为 $n/8$，且避开该集合中的所有角度。
• 存在一个紧致集合 $E \subset \mathbb{R}^n$，其 Hausdorff 维数为 $n/6$，使得由 $E$ 确定的角度集合的 Lebesgue 测度为零。
• 可构造一个紧致集合 $E \subset \mathbb{R}^n$，其维数为 $n/2$，使得 $D(E)$ 为 Lebesgue 零测度，不包含任何有理距离，无共线点，且每个距离和方向至多被实现一次。
• 该方法适用于排除由任意可数个具有有理系数且最大次数为 $d$ 的多项式定义的构型，生成维数为 $n/d$ 且避开所有此类构型的集合。
• 该构造表明，对于任意给定角度 $\alpha$，存在一个维数为 $n/8$ 的紧致集合，可避开 $\alpha$，即使 $\alpha$ 为无理数，亦可通过余弦值的有理逼近实现。