[论文解读] Sets with small angles in self-contracted curves

Vladimir Zolotov|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2018

Advanced Differential Geometry Research参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文通过引入“SRA(α)-free”空间的概念，即不包含具有小粗糙角度的大子空间的度量空间，建立了在一大类度量空间中有界自折线的可求长性。证明了非可求长的自折线必须包含任意大的SRA(α)子空间，因此在如可逆$C^\infty$-Finsler流形、具有可延拓测地线的局部紧$\textrm{CAT}(k)$-空间以及满足相同条件的Busemann空间中，有界自折线是可求长的。

ABSTRACT

We study metric spaces with bounded rough angles. E. Le Donne, T. Rajala and E. Walsberg implicitly used this notion to show that infinite snowflakes can not be isometrically embedded into finite dimensional Banach spaces. We show that bounded non-rectifiable self-contracted curves contain metric subspaces with bounded rough angles. Which provides rectifiability of bounded self-contracted curves in a wide class of metric spaces including reversible $C^{\infty}$-Finsler manifolds, locally compact $CAT(k)$-spaces with locally extendable geodesics and locally compact Busemann spaces with locally extendable geodesics. We also extend the result on non embeddability of infinite snowflakes to this class of spaces.

研究动机与目标

• 在欧几里得与黎曼几何之外的广泛度量空间类中，建立有界自折线的可求长性。
• 识别出阻碍可求长性的几何障碍——具有小粗糙角度的子空间（SRA(α)子空间）。
• 证明此类子空间的缺失（即SRA(α)-自由性）意味着自折线的可求长性。
• 将无限雪花无法嵌入有限维Banach空间的结果推广到更广泛的度量空间类。
• 通过新的内在几何框架，统一并推广先前在$\textrm{CAT}(0)$、黎曼及赋范空间中关于可求长性的结果。

提出的方法

• 引入$\textrm{SRA}({\beta})$空间的概念，其定义为不等式$d(x,y) \leq \max\{ d(x,z) + \alpha d(z,y), \alpha d(x,z) + d(z,y) \}$，用于捕捉具有统一小粗糙角度的度量空间。
• 将离散自扩张（DSE）空间定义为满足$i \leq j \leq k$时有$d(x_i,x_j) \leq d(x_i,x_k)$的有限度量集，以模拟自折线的离散结构。
• 证明若DSE空间的总长度$L(X)$超过$C({\alpha},k) \cdot D(X)$，则其包含一个$k$-点$\textrm{SRA}({\alpha})$子空间（定理2）。
• 建立$\textrm{SRA}({\alpha})$-自由空间——即对某个$k$，不包含$k$-点$\textrm{SRA}({\alpha})$子空间的空间——具有有界自折线的可求长性。
• 应用拉姆齐理论与抽屉原理论证，表明满足$\textrm{LEG}$与$\textrm{LRB}$条件的空间是局部$\textrm{SRA}({\alpha})$-自由的。
• 使用反证法：若曲线非可求长，则其像必须包含任意大的$\textrm{SRA}({\alpha})$子空间，与目标空间的局部$\textrm{SRA}({\alpha})$-自由性矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在欧几里得与黎曼几何之外的一般度量空间中建立有界自折线的可求长性？
• RQ2 自折线中阻碍可求长性的内在几何性质是什么？
• RQ3 在何种度量空间条件下，自折线保持可求长？
• RQ4 无限雪花无法嵌入有限维Banach空间的结果能否推广到其他度量空间类？
• RQ5 可延拓测地线与曲率界等几何条件如何与$\textrm{SRA}({\alpha})$子空间的缺失相关联？

主要发现

• 在任意满足$\frac{1}{2} < \alpha < 1$的度量空间中，非可求长的自折线必定包含任意大的$\textrm{SRA}({\alpha})$子空间，如定理2所形式化。
• 在完备可逆$C^\infty$-Finsler流形中，有界自折线是可求长的，因其具有局部$\textrm{SRA}({\alpha})$-自由性。
• 在具有局部可延拓测地线的完备局部紧$\textrm{CAT}(k)$-空间中，有界自折线是可求长的，因为这些空间满足$\textrm{LEG}$与$\textrm{LRB}$条件。
• 在具有局部可延拓测地线的完备局部紧Busemann空间中，有界自折线是可求长的，原因同样是局部$\textrm{SRA}({\alpha})$-自由性。
• 无限雪花无法嵌入有限维Banach空间的结果可推广至所有$\textrm{SRA}({\alpha})$-自由空间，包括上述各类空间。
• 球的加倍条件意味着此类空间中的$\textrm{SRA}({\alpha})$-自由集在大小上是统一有界的，这通过抽屉原理支持了可求长性结果。