[论文解读] Settling the Complexity of Arrow-Debreu Equilibria in Markets with Additively Separable Utilities

Xi Chen, Decheng Dai+2 more|ArXiv.org|Apr 3, 2009

Economic theories and models参考文献 30被引用 14

一句话总结

本文证明了在具有可加可分、分段线性且凹（PLC）效用函数的市场中，计算阿罗-德布鲁一般均衡仍是PPAD-完全的。作者通过从稀疏双矩阵博弈问题约化，证明除非PPAD ∈ P，否则不存在完全多项式时间近似方案（FPTAS）。

ABSTRACT

We prove that the problem of computing an Arrow-Debreu market equilibrium is PPAD-complete even when all traders use additively separable, piecewise-linear and concave utility functions. In fact, our proof shows that this market-equilibrium problem does not have a fully polynomial-time approximation scheme unless every problem in PPAD is solvable in polynomial time.

研究动机与目标

• 解决长期悬而未决的开放问题：计算具有可加可分分段线性凹（PLC）效用的市场一般均衡是多项式时间可解，还是PPAD-难？
• 弥合线性效用（可在多项式时间内求解）与更一般的凹效用之间的复杂性差距。
• 即使在可加可分PLC效用的限制下，也构造出PPAD-完全的一般均衡问题。
• 证明该问题不存在完全多项式时间近似方案（FPTAS），除非PPAD中的每个问题都可在多项式时间内求解。

提出的方法

• 构建一族包含n种商品的定价调控市场M_n，其中所有商品的近似均衡价格被约束在[1,2]区间内。
• 利用定价调控性质在新增持有小份额禀赋的交易者时的小扰动下保持稳定，以维持价格约束。
• 将稀疏双矩阵博弈中的变量编码为所构造市场的归一化均衡价格。
• 设计具有特定效用函数和禀赋的新交易者，以对均衡价格向量施加约束，使其与博弈论均衡相关联。
• 证明所构造市场中的近似均衡价格恰好对应于原博弈中的良好支持近似纳什均衡。
• 通过从稀疏双矩阵博弈问题的约化，证明市场一般均衡问题的PPAD-完全性。

实验结果

研究问题

• RQ1 计算具有可加可分分段线性凹（PLC）效用函数的阿罗-德布鲁一般均衡是多项式时间可解，还是PPAD-难？
• RQ2 该市场一般均衡问题是否存在完全多项式时间近似方案（FPTAS）？
• RQ3 当效用函数为可加可分且分段线性且仅有少量线段时，该问题的复杂性是否依然很高？
• RQ4 能否将稀疏双矩阵博弈的结构编码进一个具有PLC效用的竞争性交换市场中，以模拟其均衡？
• RQ5 所构造市场的定价调控性质在新增交易者带来的小扰动下是否保持稳定？

主要发现

• 即使所有交易者均使用可加可分、分段线性且凹的效用函数，计算阿罗-德布鲁市场一般均衡的问题仍是PPAD-完全的。
• 除非PPAD中的每个问题都可在多项式时间内求解，否则该市场一般均衡问题不具有完全多项式时间近似方案（FPTAS）。
• 仅含两个线性段（2-线性市场）的市场已为PPAD-完全，表明即使在最小非线性下，复杂性依然存在。
• 定价调控性质确保归一化均衡价格位于[1,2]区间，从而可通过价格偏移将[0,1]区间内的实数变量编码为价格。
• 定价调控性质在小禀赋扰动下的稳定性，使得能够稳健地构建出可模拟博弈论均衡的市场。
• 所构造市场中的近似均衡恰好对应于原始稀疏双矩阵博弈中的良好支持近似纳什均衡。