[论文解读] Settling the Complexity of Computing Two-Player Nash Equilibria

Xi Chen, Xiaotie Deng+1 more|ArXiv.org|Apr 12, 2007

Game Theory and Applications参考文献 35被引用 3

一句话总结

本文证明了在双人博弈（双矩阵博弈）中计算纳什均衡是PPAD-完全的，解决了算法博弈论中长期悬而未决的开放性问题。作者证明，除非PPAD包含于P，否则双矩阵博弈不存在全多项式时间近似方案（FPTAS）；并且，除非PPAD问题可在随机多项式时间内求解，否则Lemke-Howson算法的平滑复杂度不是多项式时间的。

ABSTRACT

We settle a long-standing open question in algorithmic game theory. We prove that Bimatrix, the problem of finding a Nash equilibrium in a two-player game, is complete for the complexity class PPAD Polynomial Parity Argument, Directed version) introduced by Papadimitriou in 1991. This is the first of a series of results concerning the complexity of Nash equilibria. In particular, we prove the following theorems: Bimatrix does not have a fully polynomial-time approximation scheme unless every problem in PPAD is solvable in polynomial time. The smoothed complexity of the classic Lemke-Howson algorithm and, in fact, of any algorithm for Bimatrix is not polynomial unless every problem in PPAD is solvable in randomized polynomial time. Our results demonstrate that, even in the simplest form of non-cooperative games, equilibrium computation and approximation are polynomial-time equivalent to fixed point computation. Our results also have two broad complexity implications in mathematical economics and operations research: Arrow-Debreu market equilibria are PPAD-hard to compute. The P-Matrix Linear Complementary Problem is computationally harder than convex programming unless every problem in PPAD is solvable in polynomial time.

研究动机与目标

• 解决关于双人博弈中寻找纳什均衡计算复杂性的长期开放性问题。
• 确立双矩阵博弈问题属于PPAD复杂性类，该类捕捉了具有基于奇偶性存在性证明的总搜索问题。
• 证明在双人博弈中近似纳什均衡的难度与求解PPAD中的任意问题难度相当。
• 分析Lemke-Howson算法的平滑复杂度，并证明其并非多项式时间，除非PPAD包含于随机多项式时间。
• 将复杂性结果推广至数学经济学中的更广泛问题，如Arrow-Debreu市场均衡和P-矩阵线性互补问题。

提出的方法

• 通过离散不动点问题，将双矩阵博弈问题归约至Brouwer不动点定理的计算版本。
• 构造从End-of-Line问题到双矩阵博弈的归约，确立PPAD-完全性。
• 利用PPAD-完全性框架，证明任何求解双矩阵博弈的算法，其难度必须与求解PPAD中的任意问题相当。
• 应用平滑分析方法研究Lemke-Howson算法，表明其在小随机扰动下的期望运行时间仍为超多项式时间。
• 利用PPAD捕捉具有基于奇偶性存在性证明的问题这一事实，并证明双矩阵博弈是该类的完全问题。
• 利用PPAD-完全性意味着除非PPAD ⊆ P，否则不存在全多项式时间近似方案（FPTAS）这一事实。

实验结果

研究问题

• RQ1 在双人博弈中计算纳什均衡的问题是否属于PPAD复杂性类的完全问题？
• RQ2 若双矩阵博弈存在全多项式时间近似方案（FPTAS），是否意味着所有PPAD问题都可在多项式时间内求解？
• RQ3 Lemke-Howson算法的平滑复杂度是否为多项式时间，还是在小随机扰动下仍为超多项式时间？
• RQ4 Arrow-Debreu市场均衡的计算是否为PPAD难问题？
• RQ5 除非PPAD包含于P，否则P-矩阵线性互补问题是否比凸规划更难计算？

主要发现

• 在双人博弈中计算纳什均衡的问题（即双矩阵博弈）是PPAD-完全的。
• 除非PPAD中的所有问题都可在多项式时间内求解，否则双矩阵博弈不存在全多项式时间近似方案（FPTAS）。
• 除非PPAD中的所有问题都可在随机多项式时间内求解，否则Lemke-Howson算法的平滑复杂度不是多项式时间。
• Arrow-Debreu市场均衡的计算是PPAD难的。
• 除非PPAD包含于P，否则P-矩阵线性互补问题的计算难度高于凸规划。
• 计算r人纳什均衡的复杂度可在多项式时间内归约为计算双人纳什均衡，尽管该归约并非直接的。