[论文解读] Several classes of optimal ternary cyclic codes

Lanqiang Li, Li Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2017

Coding theory and cryptography参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文通过分析 $\mathbb{F}_{3^m}$ 上特定方程解的不存在性，构建了八类新的最优三元循环码，参数为 $[3^m-1, 3^m-1-2m, 4]$。该研究解决了丁和赫勒塞斯提出的九个开放问题中的三个，并推进了第四个，显著扩展了先前在最优三元循环码构造方面的成果。

ABSTRACT

Cyclic codes have efficient encoding and decoding algorithms over finite fields, so that they have practical applications in communication systems, consumer electronics and data storage systems. The objective of this paper is to give eight new classes of optimal ternary cyclic codes with parameters $[3^m-1,3^m-1-2m,4]$, according to a result on the non-existence of solutions to a certain equation over $F_{3^m}$. It is worth noticing that some recent conclusions on such optimal ternary cyclic codes are some special cases of our work. More importantly, three of the nine open problems proposed by Ding and Helleseth in [8] are solved completely. In addition, another one among the nine open problems is also promoted.

研究动机与目标

• 构建具有改进参数的新类最优三元循环码，以应用于通信和存储系统。
• 解决最优三元循环码分类中的开放问题，特别是丁和赫勒塞斯提出的问题。
• 通过识别更广泛的结构条件，推广并扩展近期关于最优三元循环码的研究成果。
• 为 $\mathbb{F}_{3^m}$ 上关键方程的解的存在性与不存在性提供理论基础，从而支持码的构造。

提出的方法

• 利用已知的关于 $\mathbb{F}_{3^m}$ 上特定方程解不存在性的结果，推导码最优性的条件。
• 应用有限域理论，分析 $\mathbb{F}_3$ 上长度为 $3^m - 1$ 的循环码结构。
• 使用代数技术验证所设计的码在给定长度和维度下达到最大可能的最小距离。
• 通过满足推导出的解不存在条件，系统地构造出八类新码。
• 通过最小距离和码参数的界验证码的最优性。
• 将构造方法映射到已知的开放问题，以证明其已解决并取得进展。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用 $\mathbb{F}_{3^m}$ 上方程解的不存在性结果，构造新的最优三元循环码类？
• RQ2 丁和赫勒塞斯提出的九个关于最优三元循环码的开放问题中，哪些可以被完全解决？
• RQ3 新构造的码如何推广或扩展文献中先前的研究成果？
• RQ4 $\mathbb{F}_{3^m}$ 上特定方程解的不存在性能否作为码最优性的充分条件？
• RQ5 这些构造对最优三元循环码的分类与理解有何影响？

主要发现

• 构造了八类参数为 $[3^m-1, 3^m-1-2m, 4]$ 的最优三元循环码。
• 通过所提出的构造，完全解决了丁和赫勒塞斯提出的九个开放问题中的三个。
• 一个额外的开放问题得到推进，表明已向其完全解决迈出关键一步。
• 结果推广并包含了近期关于最优三元循环码的若干发现作为特例。
• 该构造依赖于 $\mathbb{F}_{3^m}$ 上关键方程解不存在性的结果，从而实现了系统的码设计。
• 所构造的码在给定长度和维度下达到最大可能的最小距离，确认了其最优性。