[论文解读] Several Classes of Trace Codes With Either Optimal Two Weights or a Few Weights over $\mathbb{F}_{q}+u\mathbb{F}_{q}$

Hongwei Liu, Youcef Maouche|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2017

Coding theory and cryptography被引用 1

一句话总结

该论文通过高斯和确定权重分布，构造了环 $\mathbb{F}_q + u\mathbb{F}_q$（$u^2 = 0$）上的无限族迹码，其具有较少的 Lee 权重。当 $\gcd(e,m) = 1$ 时，这些码作为 $\mathbb{F}_q$ 上的两权重码达到 Griesmer 界；当 $\gcd(e,m) = 2,3,4$ 时，构造了最多具有五种权重的新码族。

ABSTRACT

Let $p$ be a prime number, $q=p^s$ for a positive integer $s$. For any positive divisor $e$ of $q-1$, we construct an infinite family codes of size $q^{2m}$ with few Lee-weight. These codes are defined as trace codes over the ring $R=\mathbb{F}_q + u\mathbb{F}_q$, $u^2 = 0$. Using Gauss sums, their Lee weight distributions are provided. When $\gcd(e,m)=1$, we obtain an infinite family of two-weight codes over the finite field $\mathbb{F}_q$ which meet the Griesmer bound. Moreover, when $\gcd(e,m)=2, 3$ or $4$ we construct new infinite family codes with at most five-weight.

研究动机与目标

• 在环 $\mathbb{F}_q + u\mathbb{F}_q$ 上构造具有较少 Lee 权重的无限族迹码。
• 利用高斯和精确确定这些码的 Lee 权重分布。
• 识别码在 Griesmer 界意义下达到最优的条件。
• 将构造扩展至 $\gcd(e,m) = 2,3,4$ 的情形，以生成最多具有五种权重的码。
• 在有限环与有限域上提供具有较少权重的新无限码族。

提出的方法

• 将码定义为环 $R = \mathbb{F}_q + u\mathbb{F}_q$ 上线性码的迹像，其中 $u^2 = 0$。
• 利用高斯和计算所构造迹码的 Lee 权重分布。
• 利用 $\mathbb{F}_q + u\mathbb{F}_q$ 的代数结构，确保码的大小为 $q^{2m}$。
• 施加条件 $\gcd(e,m) = 1$，以实现达到 Griesmer 界的两权重码。
• 分析 $\gcd(e,m) = 2,3,4$ 时的权重分布，以证明码最多具有五种不同的 Lee 权重。
• 应用从 $R^m$ 到 $\mathbb{F}_q^m$ 的迹映射，获得有限域 $\mathbb{F}_q$ 上的码。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，$\mathbb{F}_q + u\mathbb{F}_q$ 上的迹码会生成 $\mathbb{F}_q$ 上的两权重码？
• RQ2 能否利用高斯和显式计算这些迹码的 Lee 权重分布？
• RQ3 当 $\gcd(e,m) = 2,3,4$ 时，码中不同 Lee 权重的最大数量是多少？
• RQ4 所构造的码是否满足线性码的 Griesmer 界？
• RQ5 是否存在扩展已知构造的新无限码族，其具有较少权重？

主要发现

• 当 $\gcd(e,m) = 1$ 时，所构造的码是 $\mathbb{F}_q$ 上的两权重码，且达到 Griesmer 界，表明其最优性。
• 通过高斯和完全确定了码的 Lee 权重分布，提供了显式的权重枚举式。
• 当 $\gcd(e,m) = 2,3,4$ 时，码最多具有五种不同的 Lee 权重，构成了具有较少权重的新无限码族。
• 码的大小为 $q^{2m}$，源自环 $\mathbb{F}_q + u\mathbb{F}_q$ 的迹码。
• 该构造在 $\mathbb{F}_q$ 上产生了具有较少权重的无限码族，扩展了已知的码设计结果。
• 迹映射的使用保持了结构特性，使得可通过特征和技巧推导出权重分布。