[论文解读] Several new quadrature formulas for polynomial integration in the triangle

Mark A. Taylor, Beth Wingate+1 more|ArXiv.org|Jan 27, 2005

Numerical Methods and Algorithms参考文献 12被引用 28

一句话总结

本文提出了一种新的基函数算法，用于计算三角形中能够精确积分高达25次多项式的最优求积公式。通过将求积点数量约束为与多项式空间维度相等，该方法利用牛顿型优化高效求解点位置和权重，得到了7个新公式，其结果优于以往研究，具有正权重且所有点均位于三角形内部。

ABSTRACT

We present several new quadrature formulas in the triangle for exact integration of polynomials. The points were computed numerically with a cardinal function algorithm which imposes that the number of quadrature points $N$ be equal to the dimension of a lower dimensional polynomial space. Quadrature forumulas are presented for up to degree $d=25$, all which have positive weights and contain no points outside the triangle. Seven of these quadrature formulas improve on previously known results.

研究动机与目标

• 开发一种数值高效的算法，用于计算三角形中能够精确积分高次多项式的最优求积公式。
• 通过使用基函数算法，减少未知数数量，同时保持解析梯度表达式以供优化，从而克服以往方法的局限性。
• 生成具有正权重且所有点严格位于三角形内部的求积规则，改进文献中已知的结果。
• 在满足基函数约束和自由度边界条件的前提下，实现高达25次多项式积分的最优或近似最优点数。

提出的方法

• 该方法使用基函数算法，将求积点数 $ N $ 设为多项式空间 $ \mathcal{P}_d $ 的维度，即 $ N = \frac{1}{2}(d+1)(d+2) $。
• 通过求解涉及正交 Kornwinder-Dubiner 多项式基函数的线性系统，采用牛顿-科特斯权重，以确保对 $ \mathcal{P}_d $ 的精确积分。
• 采用牛顿-科特斯权重的多变量推广形式，以解析方式关联权重变化与点位置变化，从而实现优化过程中的高效梯度计算。
• 该算法应用最速下降法或牛顿迭代法，优化点位置以实现对更高次多项式 $ \mathcal{P}_{d+e} $ 的积分，且不施加对称性约束。
• 使用自由度边界 $ \dim\mathcal{P}_{d+e} \leq 3N $ 确定可实现积分次数 $ d+e $ 的理论极限。
• 通过计算在归一化 $ L^2 $-范数为2的正交基函数上的最大求积误差，对解进行验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 基函数算法能否生成在点数和精确积分至25次多项式方面均最优的三角形求积公式？
• RQ2 该方法能否在不施加对称性的情况下，生成所有权重为正且无任何点位于三角形外部的求积规则？
• RQ3 所计算的求积公式是否优于文献中已知的三角形多项式积分最佳结果？
• RQ4 在基函数约束下，使用 $ N = \dim\mathcal{P}_d $ 个点，最多可精确积分多高次的多项式？

主要发现

• 针对三角形中多项式积分，共获得7个新求积公式，覆盖次数 $ d+e = 16 $ 至 $ 25 $，相比以往发表结果，使用更少的点数。
• 对于次数 $ d+e = 13 $，新公式使用36个位于三角形内部的点和正权重，实现了精确积分，优于此前采用对称点但部分点位于定义域外的结果。
• 所有计算得到的求积规则均具有正权重，且所有点严格位于三角形内部，尽管未施加任何对称性约束。
• 所有正交基函数上的最大求积误差低于 $ 4.3 \times 10^{-14} $，表明具有极高的数值精度。
• 该方法成功计算出高达25次多项式积分的最优或近似最优公式，同时满足基函数约束和自由度边界 $ \dim\mathcal{P}_{d+e} \leq 3N $。
• 对于次数 $ d+e = 11, 13, 14, 16, 17, 18, 25 $，算法生成了非对称解，标记为 'asym'，表明对称性并非实现最优性能的必要条件。