[论文解读] Several variable p-adic families of Siegel-Hilbert cusp eigensystems and their Galois representations

Jacques Tilouine, Eric Urban|ArXiv.org|Jan 18, 1999

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用 6

一句话总结

该论文在假设特征系为上同调的情形下，为全实数域 F 上的 GSp(4) 构造了多个变量的 p 进 Siegel-Hilbert 奇点特征系 p 进族。当 F=Q 时，建立了与这些特征系相关联的三变量 p 进 Galois 表示族的存在性，并在几何假设下证明了该族对对偶 parabolic 的几乎正则性。

ABSTRACT

Let F be a totally real field and G=GSp(4)_{/F}. In this paper, we show under a weak assumption that, given a Hecke eigensystem lambda which is (p,P)-ordinary for a fixed parabolic P in G, there exists a several variable p-adic family underline{lambda} of Hecke eigensystems (all of them (p,P)-nearly ordinary) which contains lambda. The assumption is that lambda is cohomological for a regular coefficient system. If F=Q, the number of variables is three. Moreover, in this case, we construct the three variable p-adic family rho_{underline{lambda}} of Galois representations associated to underline{lambda}. Finally, under geometric assumptions (which would be satisfied if one proved that the Galois representations in the family come from Grothendieck motives), we show that rho_{underline{lambda}} is nearly ordinary for the dual parabolic of P. This text is an updated version of our first preprint (issued in the "Prepublication de l'universite Paris-Nord") and will appear in the "Annales Scientifiques de l' E N S".

研究动机与目标

• 为全实数域 F 上的 GSp(4) 构造多个变量的 p 进 Siegel-Hilbert 奇点特征系族。
• 在 F=Q 的情形下，建立与这些特征系相关联的 p 进 Galois 表示族的存在性。
• 在几何假设下，证明所构造的 Galois 表示族对对偶 parabolic 为几乎正则。
• 将早期关于几乎正则族的结果推广至 Siegel-Hilbert 模形式情形，其参数空间维度更高。
• 为在 Hilbert-Siegel 模形式与 p 进族背景下建立自守形式与 Galois 表示之间的联系，提供一个框架。

提出的方法

• 利用全实数域 F 上 GSp(4) 的 (p,P)-几乎正则 Hecke 特征系理论。
• 应用形变理论技术，构造一个包含给定 (p,P)-正则特征系的多个变量 p 进特征系族。
• 通过特征系的上同调条件确保该族的存在性，依赖于正规系数系统。
• 在 F=Q 的情形下，利用模形式的水平与权参数所诱导的三变量结构，构造相关的 Galois 表示族。
• 在几何假设下（如 Galois 表示源自 Grothendieck 动力学），推导出对偶 parabolic 的几乎正则行为。
• 依赖自守形式与 p 进族的理论，尤其关注 Siegel-Hilbert 模形式及其相关 Galois 表示的背景。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为全实数域上的 Siegel-Hilbert 模形式构造一个由多个变量参数化的 p 进 Hecke 特征系族？
• RQ2 在何种条件下，一个上同调的 (p,P)-正则特征系可被 p 进形变至一个 (p,P)-几乎正则特征系族？
• RQ3 当基域为 Q 时，相关 Galois 表示族的结构如何？其变量个数是多少？
• RQ4 在几何假设下，所构造的 Galois 表示族是否对 parabolic P 的对偶为几乎正则？
• RQ5 特征系族的性质如何与底层的自守结构和动机结构相关联？

主要发现

• 对于全实数域 F 上 GSp(4) 的一个上同调 (p,P)-正则 Hecke 特征系，存在一个包含它的多个变量 p 进 (p,P)-几乎正则特征系族。
• 当 F=Q 时，该族恰好包含三个变量，对应于 Siegel-Hilbert 模形式的三维参数空间。
• 构造了一个三变量 p 进 Galois 表示族 ρ_{underline{λ}}，其与特征系族相关联。
• 在假设 Galois 表示源自 Grothendieck 动力系的前提下，证明了族 ρ_{underline{λ}} 对 parabolic P 的对偶为几乎正则。
• 该构造将早期关于几乎正则族的结果推广至更高秩辛群与 Hilbert 模形式的情形。
• 结果在弱假设下成立，仅依赖于上同调性与 (p,P)-正则性，预计发表于 Annales Scientifiques de l'ENS。