[论文解读] Sextic tensor field theories in rank $3$ and $5$

Dario Benedetti, Nicolas Delporte+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2019

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 69被引用 3

一句话总结

该论文研究了在 d < 3 维度下具有 U(N)³ 和 O(N)⁵ 对称性的三阶与五阶张量场理论，利用大 N 展开计算至四圈的 beta 函数。它识别出胶子型相互作用固定点：对于三阶模型，在 d = 3−ϵ 时存在一个类似威尔逊-费舍尔的固定点，其耦合常数为 ∼√ϵ；对于长程传播子，存在一个由实耦合 g₁ 参数化的连续固定点族；而对于五阶模型，不存在此类固定点。当 ϵ 较小或 g₁ 较小时，双线性算符谱为实数，支持幺正性。

ABSTRACT

We study bosonic tensor field theories with sextic interactions in $d<3$ dimensions. We consider two models, with rank-3 and rank-5 tensors, and $U(N)^3$ and $O(N)^5$ symmetry, respectively. For both of them we consider two variations: one with standard short-range free propagator, and one with critical long-range propagator, such that the sextic interactions are marginal in any $d<3$. We derive the set of beta functions at large $N$, compute them explicitly at four loops, and identify the respective fixed points. We find that only the rank-3 models admit a melonic interacting fixed points, with real couplings and critical exponents: for the short-range model, we have a Wilson-Fisher fixed point with couplings of order $\sqrt{\epsilon}$, in $d=3-\epsilon$; for the long-range model, instead we have for any $d<3$ a line of fixed points, parametrized by a real coupling $g_1$ (associated to the so-called wheel interaction). By standard conformal field theory methods, we then study the spectrum of bilinear operators associated to such interacting fixed points, and we find a real spectrum for small $\epsilon$ or small $g_1$.

研究动机与目标

• 研究在 d < 3 维度下，具有六阶相互作用的玻色子张量场理论中是否存在非平凡的相互作用固定点。
• 比较短程与临界长程传播子下三阶与五阶张量模型的行为。
• 确定胶子型主导是否导致实临界指数与幺正共形场理论。
• 在大 N 极限下计算四圈的 beta 函数，并分析固定点与算符谱。

提出的方法

• 分别构建具有 U(N)³ 和 O(N)⁵ 全局对称性的三阶与五阶张量场理论，包含六阶相互作用。
• 采用两种传播子类型：标准短程（ζ=1）与临界长程（ζ=d/3），使得六阶相互作用在 d<3 时为边际。
• 利用大 N 展开，通过 2PI 有效作用量与四点核，计算至四圈的耦合常数 beta 函数。
• 应用胶子积分法计算波函数与顶点重正化，在胶子极限下求解施温格-戴逊与贝特-萨勒伯方程。
• 显式推导四圈 beta 函数，并通过求解 β(g*)=0 识别固定点。
• 利用共形场论技术分析双线性算符谱，计算临界维数与 OPE 系数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 d < 3 维度下，具有长程传播子的六阶张量场理论（三阶与五阶）是否允许胶子型相互作用固定点？
• RQ2 在这些模型中，特别是长程情况下，能否实现实耦合与实临界指数？
• RQ3 在三阶与五阶模型中，短程与长程传播子下的 beta 函数与固定点有何不同？
• RQ4 在相互作用固定点下，双线性算符谱是否为实数且幺正，特别是在 ϵ 较小或耦合 g₁ 较小时？
• RQ5 对称性（U(N)³ 与 O(N)⁵）与张量秩在实现胶子型主导与固定点存在性方面起到什么作用？

主要发现

• 仅三阶模型允许具有实耦合与临界指数的胶子型相互作用固定点。
• 对于短程三阶模型，在 d = 3−ϵ 时存在一个类似威尔逊-费舍尔的固定点，其耦合常数为 √ϵ 阶。
• 对于长程三阶模型，存在一个由实耦合 g₁ 参数化的连续固定点族，对所有 d < 3 有效。
• 五阶模型不允许可实耦合的胶子型相互作用固定点。
• 当 ϵ 较小（短程）或 g₁ 较小（长程）时，双线性算符谱为实数，支持所得到 CFT 的幺正性。
• 显式计算了四圈 beta 函数，确认了大 N 极限下固定点与临界指数的结构。