[论文解读] Shadow price of information in discrete time stochastic optimization

Teemu Pennanen, Ari-Pekka Perkkiö|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 14被引用 1

一句话总结

该论文通过放松决策策略的经典有界性假设，扩展了离散时间随机优化中信息影子价格理论。通过共轭对偶性和条件期望，该文在广义条件下建立了影子价格的存在性，证明了在先前假设不成立的金融数学应用中，最优解存在且对偶间隙消失。关键贡献是通过次微分条件刻画影子价格的对偶动态规划递归式。

ABSTRACT

The shadow price of information has played a central role in stochastic optimization ever since its introduction by Rockafellar and Wets in the mid-seventies. This article studies the concept in an extended formulation of the problem and gives relaxed sufficient conditions for its existence. We allow for general adapted decision strategies, which enables one to establish the existence of solutions and the absence of a duality gap e.g. in various problems of financial mathematics where the usual boundedness assumptions fail. As applications, we calculate conjugates and subdifferentials of integral functionals and conditional expectations of normal integrands. We also give a dual form of the general dynamic programming recursion that characterizes shadow prices of information.

研究动机与目标

• 将信息影子价格理论在离散时间随机优化中扩展至非有界决策策略之外。
• 在对正规被积函数和决策空间的假设放宽的条件下，建立影子价格存在的充分条件。
• 在经典有界性条件不成立的金融优化问题中，刻画最优解并消除对偶间隙。
• 利用次微分微积分和条件期望，推导动态规划递归式的对偶形式。
• 为随机设定下积分泛函和条件期望的共轭对偶性与次微分分析提供一个通用框架。

提出的方法

• 通过Fenchel-Young不等式使用共轭对偶框架，建立原始问题与对偶问题之间的关系。
• 引入广义随机优化问题公式，允许在L∞(Ω, F, P; Rn)中存在无界、适应的决策策略。
• 应用可测选择定理和条件数学期望投影，处理非预测性策略。
• 将对偶问题表示为在v ∈N⊥上最小化Eh∗(v)，其中N⊥是适应策略的正交补空间。
• 建立最优性与次微分条件的等价性：对最优原始-对偶对，有v ∈∂h(x) a.s.。
• 通过迭代应用条件期望和次微分包含关系，建立对偶动态规划递归式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有无界策略的离散时间随机优化中，信息影子价格在何种放宽条件下存在？
• RQ2 当有界性假设不成立时，如何在金融优化问题中消除对偶间隙？
• RQ3 以条件期望和次梯度表示的一般动态规划递归式的对偶表示是什么？
• RQ4 共轭对偶性和次微分微积分如何应用于正规被积函数的积分泛函？
• RQ5 能否通过包含条件期望的递归对偶形式刻画影子价格？

主要发现

• 若v ∈L1是扰动函数φ在0处的次梯度，则信息影子价格存在，这等价于求解对偶问题inf_{v∈N⊥} Eh∗(v)，其最优值为−φ(0)。
• 当最优原始解x ∈N满足Eh(x) < ∞且v ∈∂h(x) a.s.时，对偶间隙消失。
• 对偶动态规划递归由条件Etvt ∈∂gt(xt) a.s.对所有t成立来刻画，通过Fenchel不等式确保最优性。
• 扰动函数的共轭为φ∗(v) = Eh∗(v) + δN⊥(v)，其中δN⊥是适应策略正交补空间的指示函数。
• 在假设1（条件数学期望闭包）和假设2（仿射包的逼近）下，影子价格的存在性得到保证，这些假设推广了先前的有界性条件。
• 本文证明在温和的可积性和相对内部条件下，Eh是闭且正规的，从而确保优化问题的适定性。