[论文解读] Shallow Circuits with High-Powered Inputs

Pascal Koiran|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2010

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 24被引用 17

一句话总结

本文表明，若存在一种针对由稀疏多项式乘积之和构成的单变量多项式（其系数亦为稀疏）的确定性黑箱恒等式测试算法，则意味着对称函数的算术电路复杂度存在下界，具体而言，永久多项式不属于 VP⁰。其核心洞见在于将此类受限类别的恒等式测试去随机化问题，与代数复杂性理论中的根本性下界问题相联系。

ABSTRACT

A polynomial identity testing algorithm must determine whether an input polynomial (given for instance by an arithmetic circuit) is identically equal to 0. In this paper, we show that a deterministic black-box identity testing algorithm for (high-degree) univariate polynomials would imply a lower bound on the arithmetic complexity of the permanent. The lower bounds that are known to follow from derandomization of (low-degree) multivariate identity testing are weaker. To obtain our lower bound it would be sufficient to derandomize identity testing for polynomials of a very specific norm: sums of products of sparse polynomials with sparse coefficients. This observation leads to new versions of the Shub-Smale tau-conjecture on integer roots of univariate polynomials. In particular, we show that a lower bound for the permanent would follow if one could give a good enough bound on the number of real roots of sums of products of sparse polynomials (Descartes' rule of signs gives such a bound for sparse polynomials and products thereof). In this third version of our paper we show that the same lower bound would follow even if one could only prove a slightly superpolynomial upper bound on the number of real roots. This is a consequence of a new result on reduction to depth 4 for arithmetic circuits which we establish in a companion paper. We also show that an even weaker bound on the number of real roots would suffice to obtain a lower bound on the size of depth 4 circuits computing the permanent.

研究动机与目标

• 建立多项式恒等式测试去随机化与代数复杂性理论中永久多项式下界之间的联系。
• 证明：若对某一类特定的单变量多项式——即稀疏系数的稀疏多项式乘积之和——存在一个 hitting set，则可推出永久多项式无法由不含常数的多项式大小算术电路计算。
• 提出一个新版本的 Shub-Smale τ-猜想，聚焦于此类多项式的实根，该版本可能更具可处理性。
• 探讨：即使仅略高于多项式上界，对这些多项式实根数量的上界估计，是否足以导出强电路下界。
• 研究针对稀疏多项式乘积之和的实 τ-猜想是否可被证明或证伪，及其对永久多项式复杂度的影响。

提出的方法

• 将永久多项式下界证明问题转化为对形如 ∑_{i=1}^m ∏_{j=1}^k f_{ij}(x) 的单变量多项式实根数量的界，其中每个 f_{ij} 均为稀疏多项式且其系数亦为稀疏。
• 利用黑箱恒等式测试与 hitting set 构造之间的等价性：若集合 H 是多项式族 F 的 hitting set，则 F 中任意非零多项式 f 均不会在 H 所有点上同时为零。
• 应用 VNP⁰ 中永久多项式完备性的强化版本，表明：若此类多项式具有过多实根，则可模拟诸如代数数生成器等困难家族。
• 使用代数数生成器 f_i(x) = x - i，并构造多项式 g_n(x) = ∏_{i=1}^{2^n} (x - i)，在实根数量为亚指数的假设下导出矛盾。
• 借助实代数几何中的结果，特别是少单项式理论（fewnomial theory），分析此类类似稀疏多项式的实根数量。
• 证明：即使实根数量的上界仅为略高于多项式（例如，q(s) ≤ 2^{(log s)^{1+c}}，其中 c < 1），亦足以推出永久多项式不属于 VP⁰，通过归约至深度 4 电路实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一种针对稀疏多项式乘积之和且系数亦为稀疏的多项式之确定性黑箱恒等式测试算法，可推出永久多项式不属于 VP⁰？
• RQ2 是否可证明此类多项式实根数量的略高于多项式的上界，足以导出电路下界？
• RQ3 对于稀疏多项式乘积之和的多项式，即使 k=2，实 τ-猜想是否成立？
• RQ4 能否利用实代数几何中的工具（如少单项式理论）来界定此类结构化多项式的实根数量？
• RQ5 此类多项式实根数量的最小上界为何，仍可推出永久多项式的下界？

主要发现

• 若存在一种针对单变量多项式（其形式为稀疏多项式乘积之和且系数亦为稀疏）的确定性黑箱恒等式测试算法，则可推出永久多项式不属于 VP⁰。
• 即使实根数量的上界仅为略高于多项式（具体而言，q(s) ≤ 2^{(log s)^{1+c}}，其中 c < 1），亦足以证明永久多项式不属于 VP⁰。
• 若实根数量的上界为 q(s) = 2^{s^{o(1)}}，则即使此为较弱的界，亦可推出永久多项式无法由使用多项式大小整数常数的多项式大小深度 4 电路计算。
• 假设此类多项式实根数量最多为 q(kmt)，且 q(s) = 2^{s^{o(1)}}，该猜想是合理的，因为当 k=1 时，此结论由笛卡尔符号法则（Descartes’ rule of signs）已成立。
• 目前已知的具有短算术电路但实根数量众多的多项式（如切比雪夫多项式）并不属于稀疏多项式乘积之和的类，暗示该类多项式可能具有良好的性质。
• 若能证伪该类多项式的实 τ-猜想，将产生新的稀疏类多项式实例，其具有大量实根；而若能证明该猜想，则将推出永久多项式的强下界。