[论文解读] Shannon entropy for intuitionistic fuzzy information

Vasile Pătrașcu|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Multi-Criteria Decision Making参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文通过引入 intuitionistic fuzzy 对之间的新距离度量并使用 escort fuzzy 变换，提出了一种新颖的直觉模糊信息的香农熵公式。该熵基于 escort 对的模糊香农熵推导得出，将不确定性分解为模糊性（模糊性）和不完整性（无知），并表明其随真值-假值差异的增加而减小，随犹豫度的增加而增大，满足直觉模糊熵的关键公理性质。

ABSTRACT

The paper presents an extension of Shannon fuzzy entropy for intuitionistic fuzzy one. Firstly, we presented a new formula for calculating the distance and similarity of intuitionistic fuzzy information. Then, we constructed measures for information features like score, certainty and uncertainty. Also, a new concept was introduced, namely escort fuzzy information. Then, using the escort fuzzy information, Shannon's formula for intuitionistic fuzzy information was obtained. It should be underlined that Shannon's entropy for intuitionistic fuzzy information verifies the four defining conditions of intuitionistic fuzzy uncertainty. The measures of its two components were also identified: fuzziness (ambiguity) and incompleteness (ignorance).

研究动机与目标

• 开发香农熵在直觉模糊信息上的连贯扩展，同时纳入隶属度、非隶属度和犹豫度。
• 解决目前缺乏满足标准公理条件的直觉模糊集熵度量的问题。
• 提出一种直觉模糊对之间的新距离度量，通过使用参考点 (1,1) 对 L1 距离进行归一化，以确保其在 [0,1] 范围内有界。
• 利用所提出的距离定义关键信息特征——确定性、得分和不确定性，以量化直觉模糊信息。
• 引入 escort 模糊信息的概念，将直觉模糊对映射为模糊对，同时保持其得分，从而实现将模糊熵扩展至直觉模糊设置。

提出的方法

• 提出新距离公式 D(P,Q) = (|μp−μq| + |νp−νq|) / (2 + πp + πq)，通过辅助点 (1,1) 对 L1 距离进行归一化，以确保结果在 [0,1] 范围内。
• 将确定性 g(X) 定义为 X 与其补集之间的距离，即 g(X) = |μ−ν| / (2−μ−ν)，并基于 τ 和 π 推导其性质。
• 引入得分 r(X) = (μ−ν)/(2−μ−ν) = τ/(1+π)，用于量化净真值，且在补集下具有对称性。
• 将不确定性 e(X) 定义为 1 − g(X)，表示模糊性或无知的程度，随 π 增大而增加，随 |τ| 增大而减小。
• 引入 escort 模糊对 (ˆμ, ˆν) = ((μ+π)/(1+π), (ν+π)/(1+π))，以保持得分 r(X)，从而实现将模糊熵推广至直觉模糊集。
• 推导出归一化的香农熵 ESN(X) = −1/ln(2) [ (μ+π)/(1+π) ln((μ+π)/(1+π)) + (ν+π)/(1+π) ln((ν+π)/(1+π)) ]，并将其分解为模糊性（EA）和不完整性（EU）两部分。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为直觉模糊对定义一种一致的距离度量，使其在 [0,1] 范围内有界，并适用于熵的推导？
• RQ2 在直觉模糊语境下，确定性、得分和不确定性度量的公理性质是什么？它们与 τ 和 π 的关系如何？
• RQ3 escort 模糊信息的概念如何用于将模糊熵扩展至直觉模糊集？
• RQ4 直觉模糊信息的香农熵形式为何？它是否满足模糊熵的标准公理？
• RQ5 直觉模糊对的总不确定性如何分解为模糊性和不完整性两部分？

主要发现

• 所提出的距离 D(P,Q) 在 [0,1] 范围内有界，具有对称性，并满足不可区分者的同一性，但不满足三角不等式。
• 确定性度量 g(X) = |μ−ν|/(2−μ−ν) 随 |τ| 增大而增加，随 π 增大而减小，在 (1,0) 和 (0,1) 处达到 1，在 (x,x) 处达到 0。
• 得分 r(X) = τ/(1+π) 取值范围为 [−1,1]，随 τ 增大而增加，随 π 增大而减小，满足在补集下的对称性。
• 不确定性度量 e(X) = 1 − |τ|/(1+π) 随 π 增大而增加，随 |τ| 增大而减小，在 (x,x) 处达到 1，在 (1,0) 和 (0,1) 处达到 0。
• 归一化的香农熵 ESN(X) 由 escort 模糊对导出，满足直觉模糊熵的全部四个公理：边界性、对称性、单调性和归一化。
• 总不确定性 ESN(X) 分解为两部分：EA(X) = [−(μ+π)ln(μ+π) + (ν+π)ln(ν+π)] / [(1+π)ln(2)]（模糊性）和 EU(X) = ln(1+π)/ln(2)（不完整性），其中 EA 在 (0.5,0.5) 处达到最大值，EU 在 (0,0) 处达到最大值。