[论文解读] Shape analysis on homogeneous spaces

Elena Celledoni|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Advanced Vision and Imaging参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文将平方根速度变换（SRVT）从向量空间推广至李群和齐性流形，实现了在弯曲对称空间上的参数化不变形状分析。核心贡献是为非欧几里得几何中的形状分析提供了一个统一框架，将SRVT的适用性扩展至球面和旋转群等复杂形状空间。

ABSTRACT

Shape analysis is ubiquitous in problems of pattern and object recognition and has developed considerably in the last decade. The use of shapes is natural in applications where one wants to compare curves independently of their parametrisation. Shapes are in fact unparametrized curves, evolving on a vector space, on a Lie group or on a manifold. One popular approach to shape analysis is by the use of the Square Root Velocity Transform (SRVT). In this talk we propose a generalisation of the SRVT from vector spaces to Lie groups and to homogeneous manifolds. This is Joint work with S. Eidnes, A. Schmeding.

研究动机与目标

• 将平方根速度变换（SRVT）从向量空间推广至如李群和齐性流形等非欧几里得几何。
• 实现对弯曲空间上形状的参数化不变比较，这对医学成像和计算机视觉等应用至关重要。
• 构建一个几何框架，使SRVT在对称非平坦流形上仍能保持其优良性质，如等距性和测地线计算的简化。
• 为在标准欧几里得SRVT因曲率和非交换结构而失效的流形上提供形状分析的理论基础。

提出的方法

• 通过使用群的梅尔-卡滕形式，将标准速度向量替换为李群上的右不变向量场，从而推广SRVT。
• 将形状空间定义为李群上曲线空间关于重参数化群的商空间，类似于欧几里得情形。
• 利用李群的右不变黎曼结构在形状空间上构造度量，确保其与形状空间切空间的等距性。
• 利用李群上的指数映射和对数映射，实现形状的传输并在形状空间中计算测地线。
• 通过将曲线提升至主丛并在其上应用基于群的SRVT，推导出在齐性流形上的SRVT。
• 确保变换后的空间继承原始流形的黎曼结构，从而实现形状距离和测地线的高效计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将平方根速度变换从向量空间推广至李群和齐性流形？
• RQ2 李群上的何种几何结构可保持经典SRVT的等距性和简化性质？
• RQ3 李群上的重参数化不变形状空间与标准欧几里得形状空间相比有何异同？
• RQ4 梅尔-卡滕形式在定义李群上速度表示时起什么作用？
• RQ5 SRVT框架能否扩展至如球面或旋转群等非欧几里得对称空间？

主要发现

• 推广后的SRVT在映射至李群形状空间的切空间时，仍保持原始变换的等距性质。
• 李群上的形状空间继承了右不变度量的黎曼结构，可通过指数映射实现测地线计算。
• 通过使用对数映射将曲线嵌入李代数，该变换实现了形状与参数化的解耦。
• 该框架使得在SO(3)和球面等弯曲流形上实现一致的形状比较成为可能，而标准SRVT在此类空间中失效。
• 该方法实现了在齐性空间上形状距离和插值的高效计算，对计算解剖学等应用至关重要。