[论文解读] Shape Derivative for Penalty-Constrained Nonsmooth-Nonconvex Optimization: Cohesive Crack Problem

Victor A. Kovtunenko, Karl Kunisch|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2022

Contact Mechanics and Variational Inequalities参考文献 56被引用 14

一句话总结

本文针对由拟脆性断裂中粘聚裂纹的变分不等式模型约束的非光滑、非凸优化问题，推导出形状变分导数公式。通过Lavrentiev正则化与Lagrange乘子方法，推导出涉及原态与伴随态的显式解析表达式，实现基于梯度的裂纹几何识别。采用类似水平集的算法，数值测试中形状误差收敛至23%。

ABSTRACT

A class of non-smooth and non-convex optimization problems with penalty constraints linked to variational inequalities (VI) is studied with respect to its shape differentiability. The specific problem stemming from quasi-brittle fracture describes an elastic body with a Barenblatt cohesive crack under the inequality condition of non-penetration at the crack faces. Based on the Lagrange approach and using smooth penalization with the Lavrentiev regularization, a formula for the shape derivative is derived. The explicit formula contains both primal and adjoint states and is useful for finding descent directions for a gradient algorithm to identify an optimal crack shape from a boundary measurement. Numerical examples of destructive testing are presented in 2D.

研究动机与目标

• 解决具有非穿透约束的非光滑、非凸断裂问题中的形状优化挑战。
• 基于边界测量，为基于最小二乘不适配泛函的形状可微分公式提供理论框架。
• 利用惩罚变分不等式模型，实现基于梯度的准脆性断裂中裂纹几何识别。
• 为逆裂纹检测算法提供可数值实现的形状变分导数公式。

提出的方法

• 采用Lavrentiev正则化，对Barenblatt裂纹模型中的非光滑粘聚能项构造C2-光滑近似。
• 应用具有光滑法向接触的惩罚方法，强制实现非穿透条件，将原始变分不等式替换为可微系统。
• 通过Lagrangian框架推导形状变分导数，引入原态与伴随态变量。
• 将形状变分导数表示为涉及原态与伴随态的边界积分之和，并给出裂纹界面处速度场的显式表达式。
• 对原方程与伴随方程采用有限元离散化，使用分段线性单元与一致积分。
• 提出一种基于形状变分导数的下降算法，通过动态缩放与边界处速度投影，迭代更新裂纹界面。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为由建模粘聚裂纹的变分不等式约束的非光滑、非凸优化问题推导形状变分导数？
• RQ2 何种正则化技术可在保持粘聚裂纹模型物理解释一致性的同时，确保能量泛函的C2-光滑性？
• RQ3 如何基于伴随方法，以原态与伴随态显式表达形状变分导数，以支持基于梯度的优化？
• RQ4 所推导的形状变分导数在破坏性物理分析环境下，能在多大程度上实现从边界测量中准确识别裂纹界面？

主要发现

• 形状变分导数以闭式表达为涉及原态与伴随态的边界积分，支持高效梯度计算。
• 数值结果表明，当牵引力导致裂纹完全张开时，算法在200次迭代后形状误差比为23%。
• 当惩罚参数ε = 1e−8时，目标函数比值降至初始值的0.25%，表明具有强收敛性。
• 算法在裂纹的非接触部分表现最佳，而在弱载荷下接触/粘聚区域更新效果较差。
• 提高牵引力以诱导裂纹完全张开，可显著改善整个裂纹界面的恢复，使形状误差从弱载荷下的46%降低至23%。