[论文解读] Shape DNA: Basic Generating Functions for Geometric Moment Invariants

Erbo Li, Yazhou Huang+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2017

Image Retrieval and Classification Techniques参考文献 23被引用 7

一句话总结

本文引入了两个基本生成函数——点向量的点积和向量（叉）积——作为构建几何矩不变量（GMIs）的“形状DNA”。通过将这些函数通过多重积分结合，作者推导出原始不变量（PIs），这些原始不变量可分解所有已知的GMIs，包括胡氏的七个不变量，将其简化为更简单、独立的组成部分。该方法实现了2D和3D形状分析中低阶、独立不变量的统一、系统化构建，提供了更深层次的结构理解，并为高维空间及基于流形的应用提供了可扩展的框架。

ABSTRACT

Geometric moment invariants (GMIs) have been widely used as basic tool in shape analysis and information retrieval. Their structure and characteristics determine efficiency and effectiveness. Two fundamental building blocks or generating functions (GFs) for invariants are discovered, which are dot product and vector product of point vectors in Euclidean space. The primitive invariants (PIs) can be derived by carefully selecting different products of GFs and calculating the corresponding multiple integrals, which translates polynomials of coordinates of point vectors into geometric moments. Then the invariants themselves are expressed in the form of product of moments. This procedure is just like DNA encoding proteins. All GMIs available in the literature can be decomposed into linear combinations of PIs. This paper shows that Hu's seven well known GMIs in computer vision have a more deep structure, which can be further divided into combination of simpler PIs. In practical uses, low order independent GMIs are of particular interest. In this paper, a set of PIs for similarity transformation and affine transformation in 2D are presented, which are simpler to use, and some of which are newly reported. The discovery of the two generating functions provides a new perspective of better understanding shapes in 2D and 3D Euclidean spaces, and the method proposed can be further extended to higher dimensional spaces and different manifolds, such as curves, surfaces and so on.

研究动机与目标

• 识别形状分析中所有几何矩不变量（GMIs）所依赖的基本构建模块——生成函数（GFs）。
• 开发一种系统化方法，用于构建独立的、低阶的GMIs，作为2D和3D欧几里得空间中鲁棒的形状描述符。
• 重新表达并分解现有不变量（如胡氏的七个不变量），将其分解为更简单、原始的不变量（PIs），揭示其更深层的结构关系。
• 将该框架扩展至高维空间及曲线、曲面等流形，以增强在形状检索和识别中的广泛适用性。

提出的方法

• 提出两个核心生成函数（GFs）：欧几里得空间中点向量的点积和向量（叉）积，作为形状不变量的基石‘DNA’。
• 通过点向量上的多重积分，将坐标多项式表达式转化为几何矩，构成不变量构建的基础。
• 通过选择GFs的组合并将其乘积作为基于矩的表达式进行评估，推导出原始不变量（PIs），确保其独立性和低阶性。
• 应用GF分析，将胡氏著名的七个不变量分解为更简单的PIs，揭示其内在的结构简洁性。
• 为2D中的相似变换和仿射变换构建了一套完整的独立不变量，其中部分为新报告的结果。
• 通过广义矩积分，将该框架扩展至3D及更高维空间，以及非刚性流形（如曲线和曲面）。

实验结果

研究问题

• RQ1 在2D和3D欧几里得空间中，能够系统化生成所有几何矩不变量的基本生成函数是什么？
• RQ2 胡氏著名的七个矩不变量在结构上能否被分解为更简单、更原始的不变量（PIs）？
• RQ3 能否为2D中的相似变换和仿射变换构建一个最小的、独立的低阶不变量集合，以提升实际可用性？
• RQ4 基于GF的框架在多大程度上可推广至高维空间及不同几何流形（如曲线和曲面）？

主要发现

• 点向量的点积和向量（叉）积被确定为两个基本生成函数（GFs），作为所有几何矩不变量的‘DNA’。
• 所有已知的几何矩不变量，包括胡氏的七个，均可分解为原始不变量（PIs）的线性组合，揭示了更深层的结构层次。
• 提出了一套新的、最小的独立低阶不变量集合，适用于2D中的相似变换和仿射变换，其中部分为新报告的结果，且计算更简单。
• 该方法通过聚焦于低阶PIs，实现了不变量的稳定高效计算，避免了高次多项式不变量带来的数值不稳定性。
• 该框架可通过广义矩积分推广至3D及更高维空间，以及曲线、曲面等流形。
• 基于GF的方法为理解与生成不变量提供了统一的代数与几何框架，对形状检索、物体识别和模式分类具有直接意义。