[论文解读] Shapley Values in Weighted Voting Games with Random Weights

Yuval Filmus, Joel Oren+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2016

Game Theory and Voting Systems参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文提出了一种概率框架，用于分析从指数衰减分布中独立同分布抽取随机权重的加权投票博弈中的Shapley值。通过将Shapley值计算建模为更新过程，推导出期望最高和最低Shapley值关于配额的闭式表达式，误差项呈指数衰减，且通过在均匀分布和指数分布上的模拟验证了结果。

ABSTRACT

We investigate the distribution of the well-studied Shapley--Shubik values in weighted voting games where the agents are stochastically determined. The Shapley--Shubik value measures the voting power of an agent, in typical collective decision making systems. While easy to estimate empirically given the parameters of a weighted voting game, the Shapley values are notoriously hard to reason about analytically. We propose a probabilistic approach in which the agent weights are drawn i.i.d. from some known exponentially decaying distribution. We provide a general closed-form characterization of the highest and lowest expected Shapley values in such a game, as a function of the parameters of the underlying distribution. To do so, we give a novel reinterpretation of the stochastic process that generates the Shapley variables as a renewal process. We demonstrate the use of our results on the uniform and exponential distributions. Furthermore, we show the strength of our theoretical predictions on several synthetic datasets.

研究动机与目标

• 理解当代理权重随机确定时，加权投票博弈中Shapley值的分布。
• 通过引入独立同分布权重的概率模型，解决在任意参数下Shapley值分析不可解的问题。
• 根据底层权重分布和配额，表征期望最高和最低Shapley值。
• 建立Shapley值计算与更新理论之间的新颖联系，以支持理论分析。
• 通过在均匀分布和指数分布上的合成模拟验证理论预测。

提出的方法

• 将代理权重建模为来自连续、指数衰减分布的独立同分布抽样。
• 将生成Shapley值的随机过程重新解释为更新过程，以实现分析可解性。
• 使用复分析和拉普拉斯变换技术，推导期望Shapley值的渐近展开式。
• 应用留数计算法，计算Shapley值渐近展开中的主导项。
• 通过权重分布的矩生成函数估计，界定误差项。
• 通过在具有均匀分布和指数分布权重的合成数据集上的经验模拟，验证理论结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在独立同分布的指数衰减权重和给定配额的加权投票博弈中，最高Shapley值的期望值是多少？
• RQ2 在相同条件下，最低Shapley值的期望值是多少？
• RQ3 当权重随机抽取时，期望Shapley值如何随代理数量和配额变化？
• RQ4 在随机权重假设下，Shapley值的渐近行为能否以闭式表达？
• RQ5 理论预测与不同权重分布下的经验模拟相比，其准确性如何？

主要发现

• 期望最高和最低Shapley值随代理数量线性增长，其极限值由依赖于配额和权重分布参数的闭式表达式表征。
• 在代理数量较大时，最强和最弱代理的期望Shapley值收敛到仅依赖于配额以及权重分布的均值和二阶矩的极限。
• 本文推导出Shapley值的更精确渐近公式，其误差项呈指数衰减，优于朴素近似。
• 通过从均匀分布和指数分布中抽取的合成数据集进行经验模拟，验证了理论预测，结果显示与模拟结果高度一致。
• 与更新理论的联系使得在随机权重模型下对Shapley值分布的精确渐近分析成为可能。
• 结果在不同指数衰减分布下均具有鲁棒性，且该方法适用于满足分段可微性和单调性条件的任意分布。