[论文解读] Shared purity and concurrence of a mixture of ground and low-lying excited states as indicators of quantum phase transitions

George Biswas, Anindya Biswas+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2022

Quantum many-body systems参考文献 45被引用 6

一句话总结

本文研究了共享纯度与纠缠性纯度作为自旋阻挫模型中量子相变的指标，表明共享纯度——与基于纠缠的纯度不同——在二维 $J_1$-$J_2$ 费米子模型中能有效检测多个相变，且在一维奇数与偶数尺寸自旋链中揭示了不同的有限尺寸标度指数，暗示存在拓扑或边界效应。

ABSTRACT

We investigate the efficacy of shared purity, a measure of quantum correlation that is independent of the separability-entanglement paradigm, as a quantum phase transition indicator in comparison with concurrence, a bipartite entanglement measure. The order parameters are investigated for thermal states, pseudo-thermal states and more, of the systems considered. In the case of the one-dimensional $J_1-J_2$ Heisenberg quantum spin model and the one-dimensional transverse-field quantum Ising model, shared purity turns out to be as effective as concurrence in indicating quantum phase transitions. In the two-dimensional $J_1-J_2$ Heisenberg quantum spin model, shared purity indicates the two quantum phase transitions present in the model, while concurrence detects only one of them. Moreover, we find diverging finite-size scaling exponents for the order parameters near the transitions in odd- and even-sized systems governed by the one-dimensional \(J_1-J_2\) model, as had previously been reported for quantum spins on odd- and even-legged ladders. It is plausible that the divergence is related to a M{ö}bius strip-like boundary condition required for odd-sized systems, while for even-sized systems, the usual periodic boundary condition is sufficient.

研究动机与目标

• 评估一种独立于纠缠-可分性范式的量子关联度量——共享纯度，作为自旋阻挫系统中量子相变的指标。
• 比较共享纯度与标准纠缠度量——纠缠性纯度，在 $J_1$-$J_2$ 费米子模型与横向场伊辛模型中检测量子相变的效率。
• 研究一维奇数与偶数尺寸自旋链中序参数的有限尺寸标度行为，受先前关于自旋梯中发散标度指数报告的启发。
• 确定热态与伪热态，或基态与低激发态的混合态，哪一种在利用共享纯度与纠缠性纯度检测量子临界点时更有效。

提出的方法

• 共享纯度通过全局保真度（密度矩阵的最大本征值）与局部保真度（在 $10^6$ 个哈尓随机纯态乘积态上优化）的差值计算得出。
• 纠缠性纯度使用标准两比特公式，基于自旋对的约化密度矩阵计算，作为基于纠缠的检测方法的基准。
• 热态与伪热态由能量本征态构建，重点关注基态与第一激发态的混合态，以及低能态的指数衰减混合态。
• 通过在临界点附近对共享纯度数据拟合三次多项式并分析导数的极值，提取有限尺寸标度指数。
• 通过独立采样 $10^6$ 个哈尓随机乘积态验证局部保真度的优化，确保收敛性。
• 临界点通过序参数的曲率变化或不连续性识别，使用多项式拟合的导数定位相变点。

实验结果

研究问题

• RQ1 在二维 $J_1$-$J_2$ 费米子模型中，当纠缠性纯度无法检测出两个相变中的第二个时，共享纯度是否仍能检测到该相变？
• RQ2 在一维奇数与偶数尺寸的 $J_1$-$J_2$ 自旋链中，共享纯度与纠缠性纯度是否表现出不同的有限尺寸标度指数？若存在差异，其根源是什么？
• RQ3 在利用共享纯度与纠缠性纯度检测量子相变时，热态与基态及低激发态的混合态，哪一种更有效？
• RQ4 横向伊辛模型中缺乏次近邻相互作用，是否导致奇数与偶数尺寸链中表现出对称的标度行为，与 $J_1$-$J_2$ 模型形成对比？
• RQ5 共享纯度能否作为多体系统中探测量子临界性的基于纠缠度量的稳健替代方案？

主要发现

• 共享纯度成功检测到二维 $J_1$-$J_2$ 费米子模型中从柱状二聚相到共线反铁磁序的量子相变，而纠缠性纯度仅能检测出两个相变中的一个。
• 通过在共享纯度数据上对三次多项式拟合并分析其导数，估算出二维模型中第二个相变的临界点为 $ar{ ho}_c^{(2)} \to 0.6254$。
• 在一维 $J_1$-$J_2$ 费米子模型中，共享纯度在奇数与偶数尺寸链中表现出发散的有限尺寸标度指数，提示其与奇数系统中类似莫比乌斯的边界条件相关的拓扑或边界效应。
• 在一维横向场伊辛模型中，共享纯度与纠缠性纯度均能检测到量子相变，但共享纯度表现出更高的有限尺寸标度指数，表明其敏感性更强。
• 热态在 1D $J_1$-$J_2$ 模型中无法明确检测到量子相变，但仅由基态与第一激发态组成的伪热态能成功揭示临界点。
• 对低能本征态采用指数衰减概率的混合态同样能成功检测到量子相变，证实了共享纯度在混合态情形下的鲁棒性。