[论文解读] Shared Randomness Helps with Local Distributed Problems

Alkida Balliu, Mohsen Ghaffari+6 more|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2024

Optimization and Search Problems被引用 1

一句话总结

本文展示了在分布式 LOCAL 模型中，共享随机性可将局部可检查标记（LCL）问题 Π 的轮数复杂度指数级降低：尽管私有随机性需要 Ω(√n) 轮，共享随机性却能使解法在 O(log n) 轮内完成。该结果通过证明共享随机性不仅有益，而且对某些 LCL 问题而言是必需的，从而解决了长期悬而未决的开放问题，并建立了量子、经典与分布式计算模型之间的分离性。

ABSTRACT

By prior work, we have many results related to distributed graph algorithms for problems that can be defined with local constraints; the formal framework used in prior work is locally checkable labeling problems (LCLs), introduced by Naor and Stockmeyer in the 1990s. It is known, for example, that if we have a deterministic algorithm that solves an LCL in $o(\log n)$ rounds, we can speed it up to $O(\log^*n)$ rounds, and if we have a randomized $O(\log^*n)$ rounds algorithm, we can derandomize it for free. It is also known that randomness helps with some LCL problems: there are LCL problems with randomized complexity $Θ(\log\log n)$ and deterministic complexity $Θ(\log n)$. However, so far there have not been any LCL problems in which the use of shared randomness has been necessary; in all prior algorithms it has been enough that the nodes have access to their own private sources of randomness. Could it be the case that shared randomness never helps with LCLs? Could we have a general technique that takes any distributed graph algorithm for any LCL that uses shared randomness, and turns it into an equally fast algorithm where private randomness is enough? In this work we show that the answer is no. We present an LCL problem $Π$ such that the round complexity of $Π$ is $Ω(\sqrt n)$ in the usual randomized \local model with private randomness, but if the nodes have access to a source of shared randomness, then the complexity drops to $O(\log n)$. As corollaries, we also resolve several other open questions related to the landscape of distributed computing in the context of LCL problems. In particular, problem $Π$ demonstrates that distributed quantum algorithms for LCL problems strictly benefit from a shared quantum state. Problem $Π$ also gives a separation between finitely dependent distributions and non-signaling distributions.

研究动机与目标

• 研究在分布式系统中，共享随机性是否为局部可检查标记（LCL）问题提供计算优势。
• 确定是否存在一个 LCL 问题，使得共享随机性在理论上是必需的，而私有随机性无法实现。
• 解决关于共享随机性、有限依赖分布与非信号分布在此类分布式 LCL 问题背景下的作用的开放问题。
• 在 LOCAL 模型中建立经典随机算法在私有随机性与共享随机性之间的分离性。

提出的方法

• 构建一个定义在网格结构图上的 LCL 问题 Π，其节点输出具有特定的局部约束。
• 通过基于左右两端列节点独立性的概率论证，证明在私有随机性 LOCAL 模型中，任何求解 Π 的算法至少需要 Ω(√n) 轮。
• 展示在拥有共享随机性的情况下，可通过使用公共随机串协调远距离节点的输出，使随机算法在 O(log n) 轮内求解 Π。
• 利用有界依赖性和在线-LOCAL 模型建立下界，证明即使在更强假设下，复杂度差距依然存在。
• 利用问题 Π 推导出对量子算法和分布式模型的启示，表明共享随机性可实现私有随机性无法达到的优势。
• 应用组合与概率论证，包括并集界和集中不等式，以在对抗性环境中上下界估计成功概率。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个 LCL 问题，使得在 LOCAL 模型中，共享随机性相对于私有随机性实现超多项式加速？
• RQ2 共享随机性是否对某些 LCL 问题的求解是必需的，还是私有随机性始终足够？
• RQ3 此类问题的存在是否意味着在分布式计算中，有限依赖分布与非信号分布之间存在分离？
• RQ4 分布式量子算法在求解 LCL 问题时，是否能通过共享量子态获得经典算法无法实现的优势？
• RQ5 是否存在一种通用的去随机化技术，可消除 LCL 算法中对共享随机性的依赖？

主要发现

• 在私有随机性 LOCAL 模型中，LCL 问题 Π 即使对随机算法也至少需要 Ω(√n) 轮。
• 在拥有共享随机性的情况下，同一问题 Π 可在 O(log n) 轮内求解，展示了指数级加速。
• 问题 Π 在分布式计算中建立了有限依赖分布与非信号分布之间的分离性。
• 问题 Π 表明，分布式量子算法在求解 LCL 问题时，严格受益于共享量子态，而经典算法若无共享随机性则无法达到同等效率。
• 该结果意味着共享随机性不仅有益，而且对某些 LCL 问题而言是必需的，这与以往认为私有随机性已足够直觉相矛盾。
• 即使在更强的模型（如确定性在线-LOCAL 模型与有界依赖模型）下，下界依然成立，证实了复杂度差距的稳健性。