[论文解读] Sharing a pizza: bisecting masses with two cuts

Luis Barba, Alexander Pilz+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2019

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 24被引用 8

一句话总结

本文证明了平面上任意四个质量分布均可仅通过两条直线实现同时平分，将哈梅-三明治定理推广至多重测度情形。核心结果表明，两条定向直线可将平面划分为四个区域，使得两条直线正侧的并集恰好包含每个质量分布的一半，且文中提供了构造性算法求解该问题。

ABSTRACT

Assume you have a pizza consisting of four ingredients (e.g., bread, tomatoes, cheese and olives) that you want to share with your friend. You want to do this fairly, meaning that you and your friend should get the same amount of each ingredient. How many times do you need to cut the pizza so that this is possible? We will show that two straight cuts always suffice. More formally, we will show the following extension of the well-known Ham-sandwich theorem: Given four mass distributions in the plane, they can be simultaneously bisected with two lines. That is, there exist two oriented lines with the following property: let $R^+_1$ be the region of the plane that lies to the positive side of both lines and let $R^+_2$ be the region of the plane that lies to the negative side of both lines. Then $R^+=R^+_1\cup R^+_2$ contains exactly half of each mass distribution.

研究动机与目标

• 通过仅使用两刀，将哈梅-三明治定理推广至平面上的四个质量分布。
• 确定两条直线是否能同时平分 R² 中的四个连续质量分布。
• 提供计算此类双平分的构造性算法。
• 在保持对三个或四个质量分布实现平分的前提下，探讨对直线施加约束（如通过某一点或与某方向平行）的可能性。
• 研究该问题在更高维度及更多超平面下的推广，提出关于可同时平分的质量分布最大数量的猜想。

提出的方法

• 使用拓扑方法，特别是布劳威尔-乌拉姆定理，证明存在两条直线可同时平分四个质量分布。
• 将两条定向直线的配置空间建模为高维球面，并将平分条件嵌入为对径映射。
• 应用多项式哈梅-三明治定理的推广版本，将两条直线解释为次数为二的退化代数曲面。
• 引入一种约化技术：对于约束情形（如直线通过某固定点），通过该点对点进行反射，将问题转化为径向排序问题。
• 采用固定点周围的径向点排序，并在排序后以线性时间搜索包含每个质量分布恰好一半的连续区间。
• 为所有情形提供多项式时间算法，运行时间主要由排序决定，为 O(n log n)，反射后区间搜索为 O(n)。

实验结果

研究问题

• RQ1 平面上的四个质量分布是否总能通过两条直线实现同时平分？
• RQ2 在保持对三个或四个质量分布实现同时平分的前提下，可对两条直线施加哪些约束（如通过某一点或与某方向平行）？
• RQ3 在 d 维空间中，n 个超平面可同时平分的质量分布数量是否存在紧致上界？
• RQ4 该问题能否通过代数曲面或多项式约束推广至更高维度？
• RQ5 猜想：R^d 中的 n·d 个质量分布能否被 n 个超平面同时平分？若成立，何种拓扑条件可支持此类证明？

主要发现

• 两条直线总足以同时平分平面上的四个质量分布，且两条直线正侧的并集恰好包含每个质量分布的一半。
• 该结果是紧致的：存在 R^d 中 nd+1 个质量分布的配置，无法被 n 个超平面同时平分。
• 对于约束情形（如要求一条直线通过给定点或与某方向平行），仍可用两条直线同时平分三个质量分布。
• 本文提供了计算此类平分的多项式时间算法，运行时间为 O(n log n)，主要由排序决定，反射后区间搜索为 O(n)。
• 一般猜想：R^d 中的 n·d 个质量分布可被 n 个超平面同时平分，该猜想在 d=n=2 时成立，并在后续工作中验证了更多取值。
• 该方法暗示了一条潜在的证明策略：通过次数为 n 的多项式系数空间上的对径映射，提出一个猜想，将这些映射的消失性与分解为一次因式联系起来。