[论文解读] Sharp Asymptotic Estimates for Expectations, Probabilities, and Mean First Passage Times in Stochastic Systems with Small Noise

Tobias Grafke, Tobias Schäfer+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2021

Ecosystem dynamics and resilience被引用 4

一句话总结

本文提出了一套实用的框架，通过利用矩阵里卡蒂方程推导出显式公式来计算小噪声随机系统中期望、概率和平均首达时间的精确渐近估计。该方法基于弗莱德林-温采尔大偏差理论，通过求解由瞬子路径驱动的里卡蒂方程来计算下一阶校正项，从而在高维甚至无限维系统（如随机偏微分方程）中实现精确且数值可处理的估计。

ABSTRACT

Freidlin-Wentzell theory of large deviations can be used to compute the likelihood of extreme or rare events in stochastic dynamical systems via the solution of an optimization problem. The approach gives exponential estimates that often need to be refined via calculation of a prefactor. Here it is shown how to perform these computations in practice. Specifically, sharp asymptotic estimates are derived for expectations, probabilities, and mean first passage times in a form that is geared towards numerical purposes: they require solving well-posed matrix Riccati equations involving the minimizer of the Freidlin-Wentzell action as input, either forward or backward in time with appropriate initial or final conditions tailored to the estimate at hand. The usefulness of our approach is illustrated on several examples. In particular, invariant measure probabilities and mean first passage times are calculated in models involving stochastic partial differential equations of reaction-advection-diffusion type.

研究动机与目标

• 为解决在指数尺度之外，大偏差理论中前因子校正的高效数值方法缺乏的问题。
• 为小噪声随机系统中期望、概率和平均首达时间的精确渐近估计提供显式且可数值实现的公式。
• 将现有基于瞬子的方法扩展至计算绝对尺度的概率和期望，包括在不变测度下以及对无限时间或无限维系统的情形。
• 在有限维和无限维随机偏微分方程上展示该方法的准确性和高效性，包括非可逆和非线性动力学。

提出的方法

• 该方法通过求解依赖于弗莱德林-温采尔瞬子路径的适定正向或逆向矩阵里卡蒂方程来计算前因子校正。
• 里卡蒂方程源自作用泛函的二阶变分，编码了最可能路径周围的涨落行列式。
• 对于有限时间量，该方法采用时间有序的里卡蒂解，初始或终值条件根据目标估计量（如期望、首次出口概率）进行定制。
• 对于不变测度量，该方法采用具有周期性或稳态边界条件的里卡蒂方程，以捕捉长时间统计行为。
• 通过路径积分方法将该框架推广至非高斯噪声，并应用于跳跃过程，展示了其广泛适用性。
• 通过直接采样（如Gillespie算法）与瞬子预测结果对比进行数值验证，确认在小噪声条件下仍具高精度。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地计算具有加性噪声的小噪声随机系统中期望的前因子校正？
• RQ2 用于捕捉出口概率和平均首达时间涨落行列式的里卡蒂方程的正确形式是什么？
• RQ3 如何将精确渐近估计扩展至具有不变测度和无限时间范围的系统？
• RQ4 该方法能否在无限维随机偏微分方程中产生准确且数值稳定的罕见事件概率估计？
• RQ5 与直接蒙特卡罗采样相比，所提出的基于里卡蒂的公式在小噪声条件下的精度和计算成本如何？

主要发现

• 本文推导出小噪声极限下前因子的显式、数值可处理的公式，使概率和期望的绝对尺度估计成为可能，超越指数衰减率。
• 该方法成功计算了非线性、不可逆二维系统中的平均首达时间和出口概率，结果经随机模拟验证。
• 对于不变测度，该方法在梯度和非梯度扩散系统中均能准确估计稳态概率和首达时间，包括在无限维随机偏微分方程中。
• 证明了里卡蒂方程在正向和逆向时间上均为适定且可解，且每类估计均配有合适的初始或终值条件。
• 在一维跳跃过程和具有非局部强迫项的线性随机偏微分方程上的数值结果证实了该方法的准确性和鲁棒性，即使在非可逆和高维设置下亦成立。
• 该框架高效且可扩展，在直接采样因罕见事件统计而计算不可行的区域中，仍能提供可靠估计。