[论文解读] Sharp Bounds for Bandwidth of Clique Products

Tanya Berger‐Wolf, Mitchell A. Harris|ArXiv.org|May 28, 2003

Interconnection Networks and Systems参考文献 11被引用 6

一句话总结

本文提出了一个紧致的下界以及一种最优算法，用于最小化由任意大小团的笛卡尔积构成的汉明图的带宽。通过将问题建模为多维矩阵中的数字排列，作者推导出带宽与超立方体带宽按团大小缩放成正比，即使在团大小不等时也能实现接近最优的性能。

ABSTRACT

The bandwidth of a graph is the labeling of vertices with minimum maximum edge difference. For many graph families this is NP-complete. A classic result computes the bandwidth for the hypercube. We generalize this result to give sharp lower bounds for products of cliques. This problem turns out to be equivalent to one in communication over multiple channels in which channels can fail and the information sent over those channels is lost. The goal is to create an encoding that minimizes the difference between the received and the original information while having as little redundancy as possible. Berger-Wolf and Reingold [2] have considered the problem for the equal size cliques (or equal capacity channels). This paper presents a tight lower bound and an algorithm for constructing the labeling for the product of any number of arbitrary size cliques.

研究动机与目标

• 建立由任意大小团的笛卡尔积构成的汉明图带宽的紧致下界。
• 设计一种高效的标签算法，使带宽接近理论下界。
• 将先前关于等大小团的结果推广至更复杂的不等大小团情形。
• 解决多通道通信系统中潜在分组丢失时的信息损失最小化这一实际问题。

提出的方法

• 作者将带宽最小化问题建模为在多维矩阵中排列数字，以最小化任意直线（一维子矩阵）上的最大差值。
• 通过取d维超立方体（K₂^d）的带宽与每个团大小的一半的下取整的乘积，推导出下界。
• 一种递归算法基于词典序填充矩阵的象限，当团大小为奇数时对中心子矩阵进行特殊处理。
• 通过分析象限之间及中心子矩阵上的线段展开，推导出上界，表明当团大小为偶数时具有近似最优性。
• 该方法使用递归划分与基于模运算的标签策略，以在所有直线上保持低带宽。
• 该方法通过引入一种考虑大小的递归构造，推广了先前关于等大小团的结果，使其能适应不同的团维数。

实验结果

研究问题

• RQ1 由任意大小团的笛卡尔积构成的汉明图的带宽，其最紧致的下界是什么？
• RQ2 能否构造一种高效的标签算法，使其带宽接近该下界？
• RQ3 团积的带宽如何随团的大小和数量变化？
• RQ4 在团大小为奇数的情况下，下界与可实现的上界之间有何差异？
• RQ5 所提出的算法是否在所有配置下（尤其是团大小不同时）仍保持近似最优？

主要发现

• K_{n₁} × ⋯ × K_{n_d} 的带宽下界为 B(K₂^d) × ∏_{t=1}^d ⌊n_t/2⌋，其中 B(K₂^d) 是d维超立方体的带宽。
• 当n₁为偶数时，上界为 B(K₂^d) × ∏_{t=1}^d ⌈n_t/2⌉ + n₁/2 - 1；当n₁为奇数时，表达式稍复杂。
• 对于偶数大小的团，下界与上界之差至多为 n₁/2 - 1，与整体数量级相比可忽略不计。
• 当所有团大小均为奇数n时，上界约为 ∑_{r=1}^d n^r / (2√(r−1))，而下界约为 n^d / (2√(d−1))。
• 在无穷多种情况下，上界与下界几乎重合，表明上界很可能是紧致的。
• 所提出的算法使带宽与理论下界之间仅存在一个较小的加法差距，因此对所有配置均近乎最优。