[论文解读] Sharp Bounds for the Signless Laplacian Spectral Radius in Terms of Clique Number

Bian He, Ya-Lei Jin+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2012

Graph theory and applications参考文献 11被引用 7

一句话总结

本文根据团数 ω，建立了连通图的无符号拉普拉斯谱半径的精确上下界。利用图兰图和鸢形图作为极值结构，证明当 ω ≥ 3 时，最大谱半径由图兰图 $T_{n, ho}$ 实现，当 ω = 2 时由完全二部图实现；最小谱半径由鸢形图 $Ki_{n, ho}$ 实现。这些结果推翻了 Hansen 和 Lucas（2010）提出的两个猜想。

ABSTRACT

In this paper, we present a sharp upper and lower bounds for the signless Laplacian spectral radius of graphs in terms of clique number. Moreover, the extremal graphs which attain the upper and lower bounds are characterized. In addition, these results disprove the two conjectures on the signless Laplacian spectral radius in [P. Hansen and C. Lucas, Bounds and conjectures for the signless Laplacian index of graphs, Linear Algebra Appl., 432(2010) 3319-3336].

研究动机与目标

• 推导连通图的无符号拉普拉斯谱半径 $q_1(G)$ 的精确上下界，以团数 $\omega$ 表示。
• 刻画实现这些界限的极值图，特别关注图兰图和鸢形图。
• 通过极值图构造，推翻 Hansen 和 Lucas（2010）关于 $q_1 - \omega$ 和 $q_1 / \omega$ 上界的两个猜想，以 $n$ 为参数。
• 通过将团数与谱半径界限联系起来，拓展图兰型极值问题至无符号拉普拉斯矩阵，为谱极值图论做出贡献。

提出的方法

• 利用图兰图 $T_{n,\omega}$ 的结构，推导 $q_1(G)$ 的上界，其中 $n = k\omega + r$，$0 \leq r < \omega$，并通过包含 $k$、$r$ 和 $\omega$ 的闭式表达式表示该界。
• 应用顶点复制和边添加的方法，证明在连通图中，$q_1(G)$ 随边的增加而严格递增，从而可与极值图进行比较。
• 以已知的鸢形图 $Ki_{n,\omega}$（即 $K_\omega$ 通过一条桥连接到路径 $P_{n-\omega}$）的谱半径结果作为下界参考。
• 采用矩阵分析和特征值交错技术，比较 $q_1(G)$ 与 $q_1(Ki_{n,\omega})$ 及 $q_1(T_{n,\omega})$。
• 通过证明当 $\omega \geq 3$ 时，仅当 $G$ 为图兰图 $T_{n,\omega}$，当 $\omega = 2$ 时为完全二部图时，上界才能取等，从而确立等号成立条件。
• 通过 $T_{10,3}$ 和一个 7 阶图 $G_2$ 的数值例子验证界限，与已知界限 (11)–(14) 进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于团数为 $\omega$ 的连通图，其无符号拉普拉斯谱半径 $q_1(G)$ 的最紧致上界是什么？
• RQ2 对于给定的 $n$ 和 $\omega$，哪些图实现 $q_1(G)$ 的最大值和最小值？
• RQ3 能否通过极值图构造推翻 Hansen 和 Lucas（2010）关于 $q_1 - \omega \leq \frac{3}{2}n - 4$ 和 $\frac{q_1}{\omega} \leq \frac{n}{2}$ 的猜想？
• RQ4 图兰图和鸢形图的谱性质与 $q_1(G)$ 的其他已知界限相比如何？
• RQ5 对于阶为 $n$、团数为 $\omega$ 的连通图，$q_1(G)$ 的最小可能值是多少？

主要发现

• 无符号拉普拉斯谱半径 $q_1(G)$ 的精确上界为 $\frac{(3\omega-4)k + 3r - 2 + \sqrt{k^2\omega^2 + [(2r+4)\omega - 8r]k + (r-2)^2}}{2}$，其中 $n = k\omega + r$，$0 \leq r < \omega$，且当且仅当 $\omega \geq 3$ 时 $G$ 为图兰图 $T_{n,\omega}$，$\omega = 2$ 时为完全二部图时等号成立。
• 无符号拉普拉斯谱半径 $q_1(G)$ 的下界为 $q_1(Ki_{n,\omega})$，其中 $Ki_{n,\omega}$ 是通过桥将 $K_\omega$ 连接到路径 $P_{n-\omega}$ 构成的鸢形图，且当且仅当 $G = Ki_{n,\omega}$ 时等号成立。
• 当 $\omega \geq 3$ 时，最小谱半径的下界为 $\frac{2\omega - 1 + \sqrt{4\omega^2 - 12\omega + 17}}{2}$，且当且仅当 $\omega = n - 1$ 且 $G = Ki_{n,n-1}$ 时等号成立。
• 上界可简化为 $2n(1 - \frac{1}{\omega})$，表明 $q_1(G) \leq 2n(1 - \frac{1}{\omega})$，且当 $G = T_{n,\omega}$ 时等号成立。
• 结果推翻了 Hansen 和 Lucas（2010）的猜想 1.1，因为实现边界的极值图并非完美匹配的补图。
• 数值比较显示，对于 $T_{10,3}$ 和 $G_2$ 等特定图，所提出的界限 (4) 比现有界限 (11)–(14) 更为紧密，尤其在上界估计方面。