[论文解读] Sharp bounds in terms of the power of the contra-harmonic mean for Neuman-Sandor mean

Wei-Dong Jiang, Feng Qi|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2013

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文建立了 Neumann-Sándor 平均关于反调和平均幂的精确界限，证明了对所有 $ a,b>0 $，$ a\neq b $，且 $ p \geq \frac{1}{2} $，双不等式 $ Q_{t_1,p}(a,b) < M(a,b) < Q_{t_2,p}(a,b) $ 成立的充要条件是 $ t_1 \leq \frac{1}{2}\left(1 + \sqrt{(1/t^*)^{1/p} - 1}\right) $ 且 $ t_2 \geq \frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{\sqrt{6p}}\right) $，其中 $ t^* = \ln(1+\sqrt{2}) $。

ABSTRACT

In the paper, the authors obtain sharp bounds in terms of the power of the contra-harmonic mean for Neuman-Sándor mean.

研究动机与目标

• 确定 $ (1/2, 1) $ 内的最优值 $ t_1(p) $ 和 $ t_2(p) $，使得对所有 $ a,b>0 $，$ a\neq b $，且 $ p \geq \frac{1}{2} $，双不等式 $ Q_{t_1,p}(a,b) < M(a,b) < Q_{t_2,p}(a,b) $ 成立。
• 通过将反调和平均的幂作为界函数，拓展先前关于平均不等式的结论。
• 通过参数化平均框架 $ Q_{t,p}(a,b) = C^p(ta+(1-t)b,tb+(1-t)a)A^{1-p}(a,b) $，解决关于 Neumann-Sándor 平均界限紧致性的开放问题。
• 通过参数化平均框架统一并推广先前涉及 Neumann-Sándor、Seiffert 和反调和平均的不等式。

提出的方法

• 定义广义平均 $ Q_{t,p}(a,b) = C^p(ta+(1-t)b,tb+(1-t)a)A^{1-p}(a,b) $，将反调和平均与算术平均结合，参数 $ p \geq \frac{1}{2} $。
• 使用代换 $ x = \frac{a-b}{a+b} \in (0,1) $，将不等式分析简化为在 $ (0,1) $ 上的单变量函数。
• 分析对数比值 $ \ln\left(\frac{Q_{t,p}(a,b)}{M(a,b)}\right) $，并将其转化为函数 $ f_{u,p}(x) = p\ln(1+ux^2) - \ln x + \ln(\operatorname{arcsinh}x) $，其中 $ u = (1-2t)^2 $。
• 利用洛必达法则与比值单调性引理（引理 2.1），分析 $ f_{u,p}(x) $ 在 $ (0,1) $ 上的单调性。
• 证明 $ f_{u,p}(x) > 0 $ 当且仅当 $ 6pu \geq 1 $，且 $ f_{u,p}(x) < 0 $ 当且仅当 $ 1+u \leq (1/t^*)^{1/p} $，其中 $ t^* = \ln(1+\sqrt{2}) $。
• 通过关于 $ p $ 解出 $ t $，推导出最优界限，得到临界值 $ t_1(p) $ 和 $ t_2(p) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于所有 $ a,b>0 $，$ a\neq b $，且 $ p \geq \frac{1}{2} $，使得双不等式 $ Q_{t_1,p}(a,b) < M(a,b) < Q_{t_2,p}(a,b) $ 成立的最优值 $ t_1(p) $ 和 $ t_2(p) $ 是什么？
• RQ2 在广义平均 $ Q_{t,p}(a,b) $ 中，界限的紧致性如何依赖于幂参数 $ p $？
• RQ3 Neumann-Sándor 平均的界限能否以反调和平均的幂形式表达，并给出显式最优参数？
• RQ4 在平均不等式的背景下，最优 $ t $-值与常数 $ t^* = \ln(1+\sqrt{2}) $ 之间存在何种关系？
• RQ5 函数 $ f_{u,p}(x) = p\ln(1+ux^2) - \ln x + \ln(\operatorname{arcsinh}x) $ 在 $ (0,1) $ 上保持正或负的条件是什么？

主要发现

• 对所有 $ a,b>0 $，$ a\neq b $，且 $ p \geq \frac{1}{2} $，双不等式 $ Q_{t_1,p}(a,b) < M(a,b) < Q_{t_2,p}(a,b) $ 成立的充要条件是 $ t_1 \leq \frac{1}{2}\left(1 + \sqrt{(1/t^*)^{1/p} - 1}\right) $ 且 $ t_2 \geq \frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{\sqrt{6p}}\right) $，其中 $ t^* = \ln(1+\sqrt{2}) \approx 0.8814 $。
• 当 $ p = \frac{1}{2} $ 时，结果退化为已知不等式 $ S(\alpha a + (1-\alpha)b, \alpha b + (1-\alpha)a) < M(a,b) < S(\beta a + (1-\beta)b, \beta b + (1-\beta)a) $，且最优 $ \alpha $ 和 $ \beta $ 与已知界限一致。
• 当 $ p = 1 $ 时，结果给出以反调和平均表示的精确界限：$ C(\lambda a + (1-\lambda)b, \lambda b + (1-\lambda)a) < M(a,b) < C(\mu a + (1-\mu)b, \mu b + (1-\mu)a) $，其中 $ \lambda \leq \frac{1}{2}\left(1 + \sqrt{\frac{1}{\ln(1+\sqrt{2})} - 1}\right) $ 且 $ \mu \geq \frac{1}{2}\left(1 + \frac{\sqrt{6}}{6}\right) $。
• 函数 $ f_{u,p}(x) = p\ln(1+ux^2) - \ln x + \ln(\operatorname{arcsinh}x) $ 在 $ (0,1) $ 上为正当且仅当 $ 6pu \geq 1 $，为负当且仅当 $ 1+u \leq (1/t^*)^{1/p} $，其中 $ t^* = \ln(1+\sqrt{2}) $。
• 临界值 $ u_0 = (1/t^*)^{1/p} - 1 $ 是函数 $ h_p(u) = p\ln(1+u) + \ln(t^*) $ 的唯一零点，它将 $ f_{u,p}(x) $ 的正负区域分隔开。
• 证明依赖于引理 2.1 导出的比值 $ \frac{g_1(x)}{g_2(x)} $ 的严格单调性，以及引理 2.2 中建立的 $ h(x) = \frac{(1+x^2)\operatorname{arcsinh}x}{x} $ 的凸性与单调性。