[论文解读] Sharp inequalities which generalize the divergence theorem--an extension of the notion of quasiconvexity, with an addendum

Graeme W. Milton|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2013

Composite Material Mechanics参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文通过引入新的 $Q^*$-凸性概念，将拟凸性推广至更广泛的二次函数类，从而实现对涉及向量势及其高阶导数的二次型积分的精确不等式，该不等式推广了散度定理。核心贡献是提出了一种生成极值 $Q^*$-凸函数的算法，解决了长期存在的构造极值拟凸二次函数的问题。

ABSTRACT

Subject to suitable boundary conditions being imposed, sharp inequalities are obtained on integrals over a region $Ω$ of certain special quadratic functions $f(\bf{E})$ where $\bf{E}(\bf{x})$ derives from a potential $\bf{U}(\bf{x})$. With $\bf{E}= abla\bf{U}$ it is known that such sharp inequalities can be obtained when $f(\bf{E})$ is a quasiconvex function and when $\bf{U}$ satisfies affine boundary conditions (i.e., for some matrix $\bf{D}$, $\bf{U}=\bf{D}\bf{x}$ on $\partialΩ$). Here we allow for other boundary conditions and for fields $\bf{E}$ that involve derivatives of a variety orders of $\bf{U}$. We define a notion of convexity that generalizes quasiconvexity. $Q^*$-convex quadratic functions are introduced, characterized and an algorithm is given for generating sharply $Q^*$-convex functions. We emphasize that this also solves the outstanding problem of finding an algorithm for generating extremal quasiconvex quadratic functions. We also treat integrals over $Ω$ of special quadratic functions $g(\bf{J})$ where $\bf{J}(\bf{x})$ satisfies a differential constraint involving derivatives with, possibly, a variety of orders. The results generalize an example of Kang and the author in three spatial dimensions where $\bf{J}(\bf{x})$ is a $3 imes 3$ matrix valued field satisfying $ abla\cdot\bf{J}=0$. In the addendum the paper is clarified. Notably, much more general boundary conditions are given under which sharp lower bounds on the integrals of certain quadratic functions of the fields can be obtained. As a consequence, strict $Q^*$-convexity is found to be an appropriate condition to ensure uniqueness of the solutions of a wide class of partial differential equations with constant coefficients, in a given domain $Ω$ with appropriate boundary conditions.

研究动机与目标

• 通过推导源自势函数的场的二次函数积分的精确不等式，推广散度定理，超越经典线性泛函情形。
• 将拟凸性概念扩展至包含高阶导数和非仿射边界条件的情形，解决现有理论的局限性。
• 通过引入并表征 $Q^*$-凸函数，解决构造极值拟凸二次函数这一开放问题。
• 提供一种系统性算法，用于生成适用于满足微分约束的场的 $Q^*$-凸二次函数。
• 将结果推广至同时包含势函数导出场与无散场的耦合系统，应用于材料科学与均质化问题。

提出的方法

• 引入 $Q^*$-凸性作为拟凸性的推广，其定义基于与微分约束相关的特定子空间上二次型的非负性。
• 通过涉及微分算子核的广义Legendre-Hadamard条件，表征 $Q^*$-凸二次函数。
• 开发一种迭代算法，通过从基矩阵中逐次减去秩一的半正定张量，构造极值 $Q^*$-凸函数。
• 利用傅里叶分析和周期性场分解，推导出使不等式达到饱和的 $Q^*$-特殊场，确保不等式的精确性。
• 将理论应用于通过任意阶微分算子由势函数导出的场，以及无散电流场。
• 证明当二次型为 $Q^*$-凸或临界 $Q^*$-凸时，精确不等式成立，且对非平凡特殊场可达到等号。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将梯度类场的二次函数积分的精确不等式推广至超越散度定理和仿射边界条件的情形？
• RQ2 在涉及势函数的高阶导数时，应如何推广拟凸性概念，以实现精确界？
• RQ3 能否构造一种算法来生成极值拟凸二次函数，其与 $Q^*$-凸性有何关系？
• RQ4 在势函数导出场与无散电流场的耦合系统中，精确不等式在何种条件下成立？
• RQ5 如何将零拉格朗日量理论扩展至包含精确不等式而非仅等式的情形？

主要发现

• 本文引入 $Q^*$-凸性作为拟凸性的推广，适用于任意阶势函数导出的场的二次函数。
• 提出一种算法，通过从基矩阵中迭代减去秩一的半正定张量，生成极值 $Q^*$-凸二次函数，直至无法再保持 $Q^*$-凸性为止。
• 若二次型为临界 $Q^*$-凸且测试向量位于相关算子的值域中，则不等式上确界为无穷大，表明不等式是精确的。
• 对形如 $f({f E})$ 和 $g({f J})$ 的二次型积分建立了精确不等式，其中 ${f E} = abla^k {f U}$ 且 ${f J}$ 满足 $\nabla \bullet {\bf J} = 0$，推广了 Kang 与 Milton 的先前结果。
• 理论可推广至耦合系统，其中 $h(\tilde{\bf E}, {\bf J})$ 是势函数导出场 $\tilde{\bf E}$ 与无散场 ${\bf J}$ 的二次型，在 $Q^*$-凸性条件下获得精确界。
• 在非平凡 $Q^*$-特殊场下，精确不等式可达到等号，从而证实了边界的精确性，并提供了实现该边界的构造性方法。