[论文解读] Sharp interface limit for stochastically perturbed mass conserving Allen-Cahn equation

Tadahisa Funaki, Satoshi Yokoyama|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2016

Stochastic processes and statistical mechanics被引用 5

一句话总结

本文建立了随机扰动的质量守恒Allen-Cahn方程的尖锐界面极限，证明其收敛于带有非局部噪声的随机驱动平均曲率流。作者提出一种新颖的渐近展开方法以处理发散的噪声项，证明了极限随机PDE的路径唯一性及强解的存在性。

ABSTRACT

This paper studies the sharp interface limit for a mass conserving Allen-Cahn equation added an external noise and derives a stochastically perturbed mass conserving mean curvature flow in the limit. The stochastic term destroys the precise conservation law, instead the total mass changes like a Brownian motion in time. For our equation, the comparison argument does not work, so that to study the limit we adopt the asymptotic expansion method, which extends that for deterministic equations used in Chen et al. [3]. Differently from the deterministic case, each term except the leading term appearing in the expansion of the solution in a small parameter $ε$ diverges as $ε$ tends to $0$, since our equation contains the noise which converges to a white noise and the products or the powers of the white noise diverge. To derive the error estimate for our asymptotic expansion, we need to establish the Schauder estimate for a diffusion operator with coefficients determined from higher order derivatives of the noise and their powers. We show that one can choose the noise sufficiently mild in such a manner that it converges to the white noise and at the same time its diverging speed is slow enough for establishing a necessary error estimate.

研究动机与目标

• 推导有界域中随机扰动的质量守恒Allen-Cahn方程的尖锐界面极限。
• 克服由于质量守恒与随机噪声共同作用导致的比较原理失效问题。
• 在发散噪声项存在的情况下，为渐近展开建立严格的误差估计。
• 证明极限随机平均曲率流的路径唯一性及强解存在性。

提出的方法

• 在小参数ε下采用渐近展开方法，将确定性方法扩展以处理随机噪声。
• 通过假设噪声足够缓慢地收敛至白噪声，控制由白噪声及其幂次乘积产生的发散项。
• 为由噪声高阶导数导出的系数的扩散算子建立新的Schauder型估计。
• 利用Itô公式与Gronwall引理，在紧致曲线上证明极限SPDE的路径唯一性。
• 将随机演化方程转化为带有非局部乘性噪声和曲率依赖漂移的Itô形式。
• 在无限维情形应用Yamada-Watanabe定理，由路径唯一性与弱解存在性推得强解存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当ε → 0时，随机扰动的质量守恒Allen-Cahn方程的尖锐界面极限行为如何？
• RQ2 为何在同时存在质量守恒与乘性噪声的情况下，标准比较论证会失效？
• RQ3 能否对渐近展开方法进行调整，以控制由白噪声及其导数引起的发散噪声项？
• RQ4 极限随机平均曲率流的结构是什么？它是否允许唯一的强解？
• RQ5 噪声如何影响极限中的质量守恒定律？其随机性质如何？

主要发现

• 当ε → 0时，随机质量守恒Allen-Cahn方程的解收敛于一个移动超曲面γₜ的特征函数。
• 极限动力学由带有非局部乘性噪声项的随机扰动平均曲率流所支配。
• 噪声项导致总质量演化如同布朗运动，违反了精确守恒。
• 在二维区域上，极限SPDE在几乎必然满足σ > 0的停时内 admits 唯一局部强解。
• 在曲率及其导数有界条件下，通过Itô公式与Gronwall不等式建立了路径唯一性。
• 为包含噪声高阶导数的系数的扩散算子导出了新的Schauder估计，从而实现了渐近展开中的误差控制。