[论文解读] Sharp isoperimetric upper bounds for planar Steklov eigenvalues

Alexandre Girouard, Mikhail Karpukhin+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2020

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 26被引用 7

一句话总结

该论文通过利用已知的加权Neumann特征值界以及一种通过穿孔子域近似Sobolev特征值的均匀化技术，建立了平面区域中第一和第二非零Sobolev特征值的精确等周上界，且不依赖于边界分量的数量。关键结果是该平面中这些特征值的等周问题得到了完整解决。

ABSTRACT

We solve the isoperimetric problem for the first and second nonzero Steklov eigenvalues of planar domains, without any assumption on the number of connected components of the boundary. Our approach uses the known sharp upper bounds for the weighted Neumann eigenvalues, and a homogenisation method allowing to approximate these eigenvalues by the Steklov eigenvalues of appropriately chosen perforated subdomains.

研究动机与目标

• 解决平面区域中第一和第二非零Sobolev特征值的等周问题。
• 消除先前结果中对边界分量数量的限制。
• 通过一种新颖的近似方法建立这些特征值的精确上界。
• 通过均匀化方法将Sobolev特征值问题与加权Neumann特征值界联系起来。

提出的方法

• 以已知的加权Neumann特征值的精确上界作为基础输入。
• 应用均匀化方法，构造穿孔子域，其Sobolev特征值可近似原区域的特征值。
• 采用变分法将穿孔域的特征值与原始Sobolev谱联系起来。
• 通过渐近分析证明穿孔域的Sobolev特征值收敛于极限域的特征值。
• 依赖于在此近似方案中，第一和第二非零Sobolev特征值在域扰动下保持连续性。
• 通过极限过程中构造极值域来证明界的精确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在固定边界长度的条件下，平面区域的第一非零Sobolev特征值的最优上界是什么？
• RQ2 在平面中，第二非零Sobolev特征值在等周约束下的行为如何？
• RQ3 是否可以在不假设边界分量数量固定的情况下推导出精确的等周界？
• RQ4 如何将加权Neumann特征值界转移到Sobolev特征值问题中？
• RQ5 均匀化方法在通过穿孔域近似Sobolev特征值的过程中起到什么作用？

主要发现

• 对所有平面区域，无论边界分量数量如何，均建立了第一和第二非零Sobolev特征值的精确上界。
• 这些界在通过均匀化方法构造的一系列穿孔子域的极限过程中被达到。
• 该方法成功地将加权Neumann特征值的精确估计转移到Sobolev设定中。
• 均匀化过程中Sobolev特征值的收敛性确保了这些界既精确又可在极限中实现。
• 等周问题的解是完整的，且无需对域的拓扑结构施加额外假设。