[论文解读] Sharp nonuniqueness for the forced 2D Navier-Stokes and dissipative SQG equations

Francisco Mengual, Marcos Chaves Solera|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2026

Navier-Stokes equation solutions被引用 0

一句话总结

该论文证明了强制广义 SQG 方程的尖锐非唯一性结果，在 Navier–Stokes 和耗散 SQG 情况下，在若干经典能量与 Beale–Kato–Majda 型阈值之下显示非唯一性。

ABSTRACT

We prove a sharp nonuniqueness result for the forced generalized SQG equation. First, this yields nonunique $\dot{H}^s$- energy solutions below the Miura-Ju class. In particular, this shows that the solutions constructed by Resnick and Marchand for the dissipative SQG equation are not necessarily unique. Second, this establishes nonuniqueness below the Ladyzhenskaya-Prodi-Serrin class for the 2D Navier-Stokes equation, as well as below the Constantin-Wu and Dong-Chen-Zhao-Liu classes for the dissipative SQG equation.

研究动机与目标

• 为强制 (α,β)-SQG 方程在广泛参数范围内的非唯一性提供动机并建立结果。
• 在二维 Navier–Stokes 与耗散 SQG 的标准能量与 Serrin 型准则之下，展示尖锐的非唯一性。
• 将 Vishik 的方法与 Golovkin 的技巧扩展到强制、扩散性区间。
• 展示推论，包括 μ 能量类的非唯一性以及低于各种经典唯一性阈值的情形。

提出的方法

• 使用 Vishik 的谱不稳定性框架将扩散视为扰动处理。
• 构造自相似的不稳定涡旋并将问题降为线性化算子 Lν 的特征值问题。
• 应用 Golovkin 的技巧通过定制的强迫项 F 产生两个不同解。
• 转化为自相似坐标以跟踪尺度与正则性性质。
• 通过使参数 (α,β) 与 Sobolev 指数具体化来推导能量与 LpLq 空间的推论。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在全可容许范围 0 ≤ α ≤ 1, 0 < β < 3+α 内为强制的 (α,β)-SQG 方程建立非唯一性？
• RQ2 在 Miura–Ju、Leray–Hopf、Resnick、Constantin–Wu 与 Dong–Chen–Zhao–Liu 型准则之下是否存在非唯一解？
• RQ3 扩散项 (β, α) 如何影响稳定性，是否可以选取强迫项使得解不同？
• RQ4 在 Sobolev 或 LpLq 空间中，唯一性失效的尖锐阈值是什么？
• RQ5 是否可以将非唯一性结果扩展到能量级或 Beale–Kato–Majda 型区间？

主要发现

• 存在强迫项可在初始为零的情况下产生两个不同的全局解，为强制的 (α,β)-SQG 方程。
• 当 α=1（β 在范围内任意）时，在 Miura–Ju 能量阈值以下出现尖锐非唯一性。
• β<2+α/2 时，在 Leray–Hopf 与 Marchand 类别之下仍存在非唯一性。
• 在耗散 SQG 中，当 α=1 且 0<β<4 时，在 Constantin–Wu 型准则之下非唯一性成立。
• 在 0<β<1+α（包括 α=1 且 β<2）时也在 Resnick 能量类之下出现非唯一性。
• 在 Dong–Chen–Zhao–Liu 标准之下，对所有 α∈[0,1], 0<β<3+α，均存在非唯一性，包括梯度受控情形。