[论文解读] Sharp pointwise-in-time error estimate of L1 scheme for nonlinear subdiffusion equations

Dongfang Li, Hongyu Qin+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2021

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 17被引用 4

一句话总结

该论文为带有时间分数阶Caputo导数的非线性亚扩散方程的L1格式建立了精确的逐点时间误差估计。通过引入一种改进的离散分数阶型Grönwall不等式，并在一般解正则性 $\sigma \in (0,1) \cup (1,2)$ 下严格分析截断误差，证明了最优收敛速率：当 $\sigma < \alpha$ 时为 $\mathcal{O}(\tau^{\sigma+1-\alpha} t_n^{\alpha-1})$，当 $\sigma = \alpha$ 时为 $\mathcal{O}(\tau t_n^{\alpha-1})$，数值实验验证了这些结果。

ABSTRACT

An essential feature of the subdiffusion equations with the $α$-order time fractional derivative is the weak singularity at the initial time. The weak regularity of the solution is usually characterized by a regularity parameter $σ\in (0,1)\cup(1,2)$. Under this general regularity assumption, we here obtain the pointwise-in-time error estimate of the widely used L1 scheme for nonlinear subdiffusion equations. To the end, we present a refined discrete fractional-type Grönwall inequality and a rigorous analysis for the truncation errors. Numerical experiments are provided to demonstrate the effectiveness of our theoretical analysis.

研究动机与目标

• 为求解具有 $\alpha$ 阶时间分数阶导数的非线性亚扩散方程，建立广泛使用的L1格式的精确逐点时间误差估计。
• 解决在 $t=0$ 处具有弱奇性的非光滑解所带来的挑战，其正则性参数为 $\sigma \in (0,1) \cup (1,2)$。
• 克服由于非线性导致的离散卷积中截断误差变化以及误差演化非单调所带来的困难。
• 在一般正则性假设下，首次提供L1格式在非线性亚扩散问题中的严格逐点误差分析。
• 通过数值实验验证理论结果，展示收敛阶与理论预测一致。

提出的方法

• 在域 $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ 上建立非线性亚扩散问题，其时间导数为Caputo导数 $\partial_t^\alpha u - \Delta u = f(u)$。
• 在均匀时间网格上应用L1格式进行时间半离散化，空间导数采用中心有限差分法。
• 构建一种改进的离散分数阶型Grönwall不等式，以在弱解正则性下控制误差传播。
• 进行详细的截断误差分析，考虑由于解的非光滑性导致的时间层依赖性。
• 结合能量型估计与新提出的Grönwall不等式，在最大范数下推导出逐点时间误差界。
• 通过改变 $\sigma$、$\alpha$ 和网格尺寸的数值实验验证理论结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 当解的正则性由 $\sigma \in (0,1) \cup (1,2)$ 表征时，L1格式在非线性亚扩散方程中的精确逐点时间收敛速率是什么？
• RQ2 能否构造一种改进的离散分数阶型Grönwall不等式，以处理L1格式中非单调的误差演化与变化的截断误差？
• RQ3 当 $t \to 0$ 且在最终时间 $T$ 时，时间收敛阶如何表现，特别是在 $\sigma < \alpha$ 的情况下？
• RQ4 在与线性问题相同的正则性假设下，L1格式是否在非线性亚扩散问题中实现了最优收敛？
• RQ5 理论收敛阶是否在不同空间维数和非线性形式下均通过数值实验得到验证？

主要发现

• 当 $\sigma \in (0,\alpha)$ 时，逐点时间误差满足 $\|u^n - U^n\|_{\infty} \lesssim \tau^{\sigma+1-\alpha} t_n^{\alpha-1} + t_n^{\alpha} h^2$，即使在线性问题中此前也未曾有此类估计。
• 当 $\sigma = \alpha$ 时，误差界为 $\|u^n - U^n\|_{\infty} \lesssim \tau t_n^{\alpha-1} + t_n^{\alpha} h^2$，首次建立了非线性亚扩散方程的精确逐点误差估计。
• 数值实验表明，当 $t_n \to 0$ 时，时间收敛阶为 $\sigma$（若 $\sigma < 1$），或为 $\alpha$（若 $\sigma = \alpha$），与理论预测一致。
• 在最终时间 $t_N = T$ 时，收敛阶趋近于 $\sigma + 1 - \alpha$（当 $\sigma < 1$ 时）和 $2 - \alpha$（当 $1 < \sigma < 2$ 时），与理论一致。
• 空间收敛阶始终为 $2$，证实了中心有限差分格式的预期二阶精度。
• 改进的离散分数阶型Grönwall不等式对于控制误差累积至关重要，并使得在弱正则性条件下的精确误差估计成为可能。