[论文解读] Sharp semi-concavity in a non-autonomous control problem and $L^p$ estimates in an optimal-exit MFG

Samer Dweik, Guilherme Mazanti|Dec 20, 2018

Advanced Mathematical Modeling in Engineering被引用 4

一句话总结

本文在仅具有时间下方向Lipschitz正则性的非自治最优控制问题中，建立了价值函数的精确次凸性，并将其应用于证明最优退出平均场博弈（MFG）中代理人分布的统一 $L^p$ 有界性，确保在动力学满足较弱正则性假设下，$L^p$ 可积性从初始时刻传播至所有未来时刻。

ABSTRACT

This paper studies a mean field game inspired by crowd motion in which agents evolve in a compact domain and want to reach its boundary minimizing the sum of their travel time and a given boundary cost. Interactions between agents occur through their dynamic, which depends on the distribution of all agents. We start by considering the associated optimal control problem, showing that semi-concavity in space of the corresponding value function can be obtained by requiring as time regularity only a lower Lipschitz bound on the dynamics. We also prove differentiability of the value function along optimal trajectories under extra regularity assumptions. We then provide a Lagrangian formulation for our mean field game and use classical techniques to prove existence of equilibria, which are shown to satisfy a MFG system. Our main result, which relies on the semi-concavity of the value function, states that an absolutely continuous initial distribution of agents with an $L^p$ density gives rise to an absolutely continuous distribution of agents at all positive times with a uniform bound on its $L^p$ norm. This is also used to prove existence of equilibria under fewer regularity assumptions on the dynamics thanks to a limit argument.

研究动机与目标

• 在仅对动力学时间变量施加最小时间正则性假设的非自治最优控制问题中，建立价值函数的次凸性。
• 在更强正则性条件下，证明价值函数沿最优轨迹的可微性。
• 提出最优退出MFG的拉格朗日方法，并证明均衡的存在性。
• 当初始分布具有 $L^p$ 密度时，推导出所有正时间下代理人分布的统一 $L^p$ 有界性。
• 通过基于 $L^p$ 估计的极限论证，将均衡存在性结果推广至正则性更低的动力学系统。

提出的方法

• 仅利用动力学在时间上的下方向Lipschitz界，证明价值函数的精确次凸性，无需上界假设。
• 应用庞特里亚金最大值原理刻画最优轨迹并推导必要条件。
• 采用拉格朗日形式描述代理人演化，并以连续性方程与哈密顿-雅可比方程的形式推导MFG系统。
• 通过利用价值函数的次凸性，建立所有时间下代理人分布的统一 $L^p$ 有界性。
• 构造一组正则化动力学序列，利用弱收敛与紧致性论证，通过极限过程证明在最小正则性条件下均衡的存在性。
• 运用粘性解理论，验证极限满足粘性意义下的哈密顿-雅可比方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非自治最优控制问题中，若时间依赖动力学仅满足下方向Lipschitz正则性条件，能否建立价值函数的次凸性？
• RQ2 在最优退出MFG框架下，若初始代理人分布具有 $L^p$ 可积性，其在所有未来时刻的分布 $L^p$ 范数是否一致有界？
• RQ3 能否通过 $L^p$ 估计与极限论证，在动力学正则性更低的假设下证明MFG模型中均衡的存在性？
• RQ4 价值函数的次凸性如何促进MFG系统中可积性的传播？
• RQ5 拉格朗日形式在证明均衡存在性与推导MFG系统中起到何种作用？

主要发现

• 价值函数在空间上具有次凸性，且其精确次凸性常数仅依赖于动力学在时间上的下方向Lipschitz常数。
• 在动力学具有额外正则性假设时，价值函数沿最优轨迹可微。
• 初始分布为绝对连续且具有 $L^p$ 密度时，所有正时间下分布仍为绝对连续，且其 $L^p $ 范数存在统一有界性。
• 利用 $L^p$ 估计，通过正则化动力学的极限过程，证明了在较弱正则性模型中均衡的存在性。
• 极限分布以分布意义满足MFG系统，其中连续性方程与哈密顿-雅可比方程均以弱形式成立。
• 建立了正则化价值函数梯度序列收敛于极限价值函数梯度，确保了MFG系统动力学的一致性。