[论文解读] Sharp threshold for embedding combs and other spanning trees in random graphs

Richard Montgomery|arXiv (Cornell University)|May 26, 2014

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文在二项式随机图中建立了嵌入广泛类别的生成树（包括梳状树和具有许多长裸路径的有界度树）的精确阈值。基于扩张性质和连接器系统的构造方法，证明了 $χ(n,(1+ε)log n/n)$ 几乎必然包含此类树，改进了先前结果，并证实了在连通性阈值附近对一大类树的猜想。

ABSTRACT

When $k|n$, the tree $\mathrm{Comb}_{n,k}$ consists of a path containing $n/k$ vertices, each of whose vertices has a disjoint path length $k-1$ beginning at it. We show that, for any $k=k(n)$ and $ε>0$, the binomial random graph $\mathcal{G}(n,(1+ε)\log n/ n)$ almost surely contains $\mathrm{Comb}_{n,k}$ as a subgraph. This improves a recent result of Kahn, Lubetzky and Wormald. We prove a similar statement for a more general class of trees containing both these combs and all bounded degree spanning trees which have at least $εn/ \log^9n$ disjoint bare paths length $\lceil\log^9 n ceil$. We also give an efficient method for finding large expander subgraphs in a binomial random graph. This allows us to improve a result on almost spanning trees by Balogh, Csaba, Pei and Samotij.

研究动机与目标

• 建立在二项式随机图中嵌入具有许多长裸路径的生成树的精确阈值。
• 将 $ (1+\varepsilon)\log n/n $ 阈值适用的树的范围扩展至梳状树和有界度树之外。
• 提供一种基于扩张性质和连接器系统的构造性方法来嵌入此类树。
• 改进先前关于几乎生成树和环因子分解在随机图中的结果。
• 证明 $\mathcal{G}(n,(1+\varepsilon)\log n/n)$ 几乎必然包含所有具有 $\alpha n/\log^9 n$ 个不相交裸路径（每条长度为 $\lceil \log^9 n \rceil$）的树。

提出的方法

• 在 $\mathcal{G}(n,p)$ 中使用简单的概率论证构造大扩张子图，以确保小集合和大集合都具有扩张性。
• 采用分层嵌入策略：先嵌入核心树结构，然后通过辅助图中的匹配将长裸路径连接到主干。
• 使用 $(\ell, \gamma)$-连接器连接顶点并形成更长路径，确保路径的不相交性和连通性。
• 应用霍尔条件验证连接器端点与随机图中目标顶点之间的匹配存在性。
• 引入连接器集合上的有向图 $M$，以在图中引导路径，确保不相交路径的构建。
• 结合概率引理（如引理 2.9、2.12）建立随机图中的最小度和扩张性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否证明阈值 $p = (1+\varepsilon)\log n/n$ 对于具有足够多长裸路径的有界度生成树是充分的？
• RQ2 是否存在一种基于扩张和连接器系统的构造性方法来嵌入此类树，而非依赖因子分解或概率计数？
• RQ3 能否将阈值收紧至 $\mathcal{G}(n,(1+\varepsilon)\log n/n)$，以适用于具有 $\alpha n/\log^9 n$ 个不相交裸路径（每条长度为 $\lceil \log^9 n \rceil$）的树？
• RQ4 与先前工作相比，该方法是否改进了几乎生成树嵌入的阈值？
• RQ5 能否使用类似技术将随机图分解为长度 $k \geq 2\log^9 n$ 的环？

主要发现

• 对于任意 $\varepsilon > 0$，$\mathcal{G}(n,(1+\varepsilon)\log n/n)$ 几乎必然包含每个具有至少 $\alpha n/k$ 个长度为 $k$ 的齿的树 $T$，推广了梳状树嵌入结果。
• $p = (1+\varepsilon)\log n/n$ 阈值对具有至少 $\alpha n/\log^9 n$ 个不相交裸路径（每条长度为 $\lceil \log^9 n \rceil$）的有界度树是充分的。
• 该方法提供了一种基于扩张和连接器匹配的构造性嵌入算法，避免了对复杂因子分解定理的依赖。
• 该结果改进了 Balogh 等人关于几乎生成树嵌入的工作，将所需 $p$ 从 $c/n$ 降低至 $\mathcal{O}(\log n/n)$。
• 当 $k \geq 2\log^9 n$ 时，$\mathcal{G}(n,(1+\varepsilon)\log n/n)$ 几乎必然允许分解为 $n/k$ 个顶点不相交的长度为 $k$ 的环。
• 证明表明 $\mathcal{G}(n,(1+\varepsilon)\log n/n)$ 具有足够强的扩张性和最小度，可通过连接器系统支持复杂树的嵌入。