[论文解读] Sharp Thresholds for Temporal Motifs and Doubling Time in Random Temporal Graphs

Henry Austin, George B. Mertzios+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2026

Opportunistic and Delay-Tolerant Networks被引用 0

一句话总结

该论文研究 delta-时间 motifs 的尖阈值存在性，以及在两种随机时间图模型中以扩张代理的 doubling time（增长时间）进行分析，利用概率方法推导阈值与界限。

ABSTRACT

In this paper we study two natural models of extit{random temporal} graphs. In the first, the extit{continuous} model, each edge $e$ is assigned $l_e$ labels, each drawn uniformly at random from $(0,1]$, where the numbers $l_e$ are independent random variables following the same discrete probability distribution. In the second, the extit{discrete} model, the $l_e$ labels of each edge $e$ are chosen uniformly at random from a set $\{1,2,\ldots,T\}$. In both models we study the existence of extit{$δ$-temporal motifs}. Here a $δ$-temporal motif consists of a pair $(H,P)$, where $H$ is a fixed static graph and $P$ is a partial order over its edges. A temporal graph $\mathcal{G}=(G,λ)$ contains $(H,P)$ as a $δ$-temporal motif if $\mathcal{G}$ has a simple temporal subgraph on the edges of $H$ whose time labels are ordered according to $P$, and whose life duration is at most $δ$. We prove extit{sharp existence thresholds} for all $δ$-temporal motifs, and we identify a qualitatively different behavior from the analogous static thresholds in Erdos-Renyi random graphs. Applying the same techniques, we then characterize the growth of the largest $δ$-temporal clique in the continuous variant of our random temporal graphs model. Finally, we consider the extit{doubling time} of the reachability ball centered on a small set of vertices of the random temporal graph as a natural proxy for temporal expansion. We prove extit{sharp upper and lower bounds} for the maximum doubling time in the continuous model.

研究动机与目标

• 在随机时间图中引入并形式化 delta-时间 motifs。
• 确定连续与离散模型中固定 delta-时间 motifs 的尖阈值。
• 表征在随机标记下最大的 delta-时间 clique 的增长行为。
• 研究 reachability balls 的 doubling time，作为这些模型中时间扩张的代理量。

提出的方法

• 将 delta-时间 motifs 定义为 (H, P)，其生存期至多为 delta。
• 研究两种随机时间图模型：连续标签在 (0,1]，以及离散标签在 {1,...,T}，带有随机重数。
• 应用一阶与二阶矩方法，结合随机支配论证，来界定 motifs 的出现次数。
• 使用离散化（T-离散化与顺序离散化）将连续模型和离散模型联系起来。
• 引入 (H, P) 的自同构以控制 motif 出现的过度计数。
• 通过界定 reachability balls 并采用类似时间反演的依赖控制方法来分析 doubling time。

实验结果

研究问题

• RQ1 连续模型 Gamma_[n](psi) 与离散模型 Gamma_[n](psi, T) 中固定 delta-时间 motifs 的存在阈值是什么？
• RQ2 稀疏性 rho_H 如何影响 delta-时间 motifs 的阈值行为，相较于静态的 Erdős-Rényi 图？
• RQ3 在连续模型中最大的 delta-时间 clique 的增长行为是怎样的？
• RQ4 连续模型中对 reachability 的最大 doubling time 的尖上界与尖下界是什么，它们如何与相关模型中的时间源/汇与 reachability 巨连分量现象相关？
• RQ5 离散化方案（T-离散化、顺序离散化）如何帮助在连续与离散模型之间转移结果？

主要发现

• delta-时间 motifs 的存在阈值是尖锐的，并受稀疏性 rho_H 的影响，与静态阈值表现不同。
• 不同大小的循环在极限意义上表现出不同的 motif 阈值，这与静态 Erdős-Rényi 情况不同。
• 最大的 delta-时间 clique 展现出紧致的边界，取决于标签分布与 delta 的关系，类似于静态模型中的 clique 阈值。
• 连续模型中的 doubling time 上/下界是尖锐的，有限与无限阈值与相关模型中的时间源/汇以及可达巨连分量现象相吻合。
• 在退化情形（每边单标签）下，doubling time 集中在 (2 log n)/(r n) 附近，存在少量加性因子，体现了对有限 doubling time 的精确阈值。