[论文解读] Sharpening "Primes is in P" for a large family of numbers

Pedro Berrizbeitia|ArXiv.org|Nov 20, 2002

Analytic Number Theory Research被引用 9

一句话总结

本文提出针对满足 (a|n) = −1 的整数 n ≡ 1 (mod 4) 的确定性素性测试，以及针对满足 (a|n) = (1−a|n) = −1 的整数 n ≡ −1 (mod 4) 的确定性素性测试。这些算法利用有限域中的代数结构，并通过模 (n, x^{2s} − a) 的单项式同余关系降低验证复杂度，在 k = ν₂(n−1) 或 ν₂(n+1) 超过 2 log log n 时，时间复杂度可达到 ˜O(log n)^4，显著优于 AKS 算法在有利情况下的 ˜O(log n)^12 运行时间。

ABSTRACT

We give Deterministic Primality tests for large families of numbers. These tests were inspired in the recent and celebrated Agrawal-Kayal-Saxena (AKS) test. The AKS test has proved polynomial complexity O ((log n)^12) and they expect it to be O ((log n)^6) . Our tests have proved complexity O ((log n)^6). The complexity decreases to O ((log n)^4) as the power of 2 dividing n + 1 or n - 1 increases. On large enough primes, our tests, in their worst case, run at least 2^9 times faster than the AKS test.

研究动机与目标

• 为一大类密集的整数开发比 AKS 算法更快的确定性素性测试。
• 通过利用 ν₂(n±1) 较大的数的结构性质，解决 AKS 算法多项式次数过高的局限性。
• 通过放宽对 ν₂(n−1) 或 ν₂(n+1) 的要求，推广并改进现有的 Proth 和 Lucas-Lehmer 测试。
• 通过利用有限域中的自同构和单项式对称性，减少多项式同余验证的次数。
• 提供一种可根据 2-adic 估值 k = ν₂(n−1) 或 ν₂(n+1) 自适应调整复杂度的框架，在 k 较大时实现接近最优的性能。

提出的方法

• 使用单项式同余关系 (1 + mx)^n ≡ 1 + mx^n (mod n, x^{2s} − a)，其中 s = ⌈2 log log n⌉，替代 AKS 中的 (m + x)^n ≡ m + x^n (mod n, x^r − 1)。
• 通过利用保持单项式结构的域自同构，将所需 m 值的数量从 2√r log n 减少到 2^{max(s−k,0)}。
• 利用伽罗瓦自同构下 1 + mx^n 的共轭也满足相同同余关系的事实，实现批量验证。
• 将 s 定义为满足 |G_n| > n^{2s/2} 的最小整数，其中 G_n 是在弗罗贝尼乌斯映射下封闭的单项式群，相比 AKS 中固定的 r，效率更高。
• 利用雅克比符号条件 (a|n) = −1 或 (a|n) = (1−a|n) = −1，确保在 Z_n[i] 或 Z_n[√a] 中存在合适的代数结构。
• 为 n ≡ 1 和 n ≡ −1 (mod 4) 分别引入参数化测试 A_u 和 B_u，其复杂度取决于 k 和 u。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 ν₂(n−1) 或 ν₂(n+1) 较高的数，是否可以在保持确定性的前提下加速素性测试？
• RQ2 如何利用代数对称性减少 AKS 类算法中多项式同余检查的次数？
• RQ3 当已知 n 模 r 的阶较大时，是否可以不依赖 r 为素数的条件，显著改进 AKS 算法的复杂度？
• RQ4 是否可以将素性测试的复杂度根据 n 的结构（特别是其 2-adic 估值）实现自适应？
• RQ5 是否可能构造一种素性测试，使其在一大类整数上以 ˜O(log n)^4 时间运行，达到 AKS 算法的最佳情况性能，但常数因子小得多？

主要发现

• 针对 n ≡ 1 (mod 4) 的算法运行时间为 2^{−min(k, [2 log log n])} ˜O(log n)^6，当 k ≥ 2 log log n 时可优化至 ˜O(log n)^4。
• 对于 ν₂(n−1) ≥ 2 log log n 的大素数，该算法比 AKS 算法的最佳情况快至少 2^11 倍。
• 针对 n ≡ −1 (mod 4) 的算法在最坏情况下相比 AKS 实现了 2^9 倍的加速，复杂度同样达到 ˜O(log n)^4。
• 当 k > 1/2 log n 时，算法运行时间为 ˜O(log n)^2，接近此类数族的最优复杂度。
• 测试 A_u 的复杂度约为 2^{4(u−1)} 2^{−min(max(k−s,0), 2(u−1))} ˜O(log n)^6，显示出对 u 和 k 的指数依赖性。
• 作者推测，通过调整 s 和群结构，该算法可进一步优化，使所有 k 从 2 到 1/2 log n 的情况下均达到 ˜O(log n)^2 复杂度。