[论文解读] Shattered Sets and the Hilbert Function

Shay Moran, Cyrus Rashtchian|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2015

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 37被引用 4

一句话总结

本文建立了代数几何（Hilbert函数）与组合数学（VC理论）之间的新联系，通过证明某些线性规划可行性问题无法被低次多项式逼近，从而证明其需要指数规模的常深电路。本文给出了Sandwich定理的新代数证明，并通过多项式方法证明了关于具有指定交集的下闭集的结构性结果。

ABSTRACT

We study complexity measures on subsets of the boolean hypercube and exhibit connections between algebra (the Hilbert function) and combinatorics (VC theory). These connections yield results in both directions. Our main complexity-theoretic result proves that most linear program feasibility problems cannot be computed by polynomial-sized constant-depth circuits. Moreover, our result applies to a stronger regime in which the hyperplanes are fixed and only the directions of the inequalities are given as input to the circuit. We derive this result by proving that a rich class of extremal functions in VC theory cannot be approximated by low-degree polynomials. We also present applications of algebra to combinatorics. We provide a new algebraic proof of the Sandwich Theorem, which is a generalization of the well-known Sauer-Perles-Shelah Lemma. Finally, we prove a structural result about downward-closed sets, related to the Chvátal conjecture in extremal combinatorics.

研究动机与目标

• 建立代数中的Hilbert函数与VC理论概念（如打碎与下移）之间的深刻联系。
• 证明一大类线性规划可行性问题无法被多项式规模的常深电路计算。
• 通过Hilbert函数与基构造，给出Sandwich定理的新代数证明，该定理是Sauer-Perles-Shelah引理的推广。
• 通过证明存在满足特定交集条件的双射，解决极值组合数学中的结构性问题。

提出的方法

• 将Hilbert函数 $ h_d(C, \bbF) $ 定义为可由次数至多为 $ d $ 的多项式表示的函数 $ f: C \to \bbF $ 的空间的维数。
• 基于VC理论参数（如打碎、强打碎与下移）建立 $ h_d(C, \bbF) $ 的上下界。
• 利用多项式方法证明，线性规划可行性问题的符号向量函数无法在任何域上被低次多项式逼近。
• 证明特征函数矩阵 $ \mathbf{1}_{a \cap b = \phi(a)} $ 在 $ \bbF_2 $ 上非奇异，从而推出所期望双射的存在性。
• 利用当 $ D $ 为下闭集时，单项式 $ \prod_{i \in a} x_i $ 构成 $ \bbF_2^D $ 的基这一事实，并将其推广至任意交集映射 $ \phi $。
• 应用Razborov-Smolensky多项式逼近技术，从低次多项式不可逼近性推导出电路下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用VC理论中的概念（如打碎与下移）来界定Hilbert函数？
• RQ2 是否存在在任何域上都难以被低次多项式逼近的VC理论中的极值函数？
• RQ3 能否通过Hilbert函数与基构造的代数方法证明Sandwich定理？
• RQ4 每个下闭族是否都存在一个双射 $ \pi $，使得对任意 $ \phi(a) \subseteq a $，都有 $ a \cap \pi(a) = \phi(a) $？
• RQ5 低插值次数（特别是次数为二）的集合的结构特征是什么？

主要发现

• 当 $ m = 2d+1 $ 个超平面处于一般位置时，线性规划可行性问题的符号向量函数无法在任何域上被低次多项式逼近。
• 该不可逼近性意味着计算可行性函数需要指数规模的常深电路。
• 本文通过Hilbert函数与 $ \bbF_2 $ 上的基构造，给出了Sandwich定理的新代数证明。
• 对任意下闭族 $ D $ 及满足 $ \phi(a) \subseteq a $ 的映射 $ \phi: D \to D $，存在一个双射 $ \pi: D \to D $，使得对所有 $ a \in D $，都有 $ a \cap \pi(a) = \phi(a) $。
• 插值次数 $ \mathsf{intdeg}(C) $ 的上界由 $ C $ 的VC维决定，且满足 $ \mathsf{intdeg}(C) = 1 $ 的集合恰好是仿射无关集。
• 当 $ D $ 为下闭集时，单项式 $ \prod_{i \in a} x_i $ 构成 $ \bbF_2^D $ 的基；更一般地，函数 $ \prod_{i \in \phi(a)} x_i \prod_{i \in a \setminus \phi(a)} (1 + x_i) $ 构成 $ \bbF_2^D $ 的基。