[论文解读] Sheaf Quantization of Lagrangians and Floer cohomology

Claude Viterbo|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 26被引用 14

一句话总结

本文通过 Floer 理论构造了与 $T^*N$ 中的精确拉格朗日子流形 $L$ 相关的 $N \times \mathbb{R}$ 上的层复形，证明其奇点支集等于 $L$ 的锥 $\hat{L}$。利用 Floer 上同调，作者建立了 $L$ 的过滤 Floer 上同调与该量化复形的层上同调之间的拟等价性，包括乘积结构的等价性。

ABSTRACT

Given an exact Lagrangian submanifold $L$ in $T^*N$, we want to construct a complex of sheaves in the derived category of sheaves on $N imes {\mathbb R} $, such that its singular support, $SS({\mathcal F}^\bullet_L)$, is equal to $\widehat L$, the cone constructed over $L$. Its existence was stated in \cite{Viterbo-ISTST} in 2011, with a sketch of proof, which however contained a gap (fixed here by the rectification). A complete proof was shortly after provided by Guillermou (\cite{Guillermou}) by a completely different method, in particular Guillermou's method does not use Floer theory. The proof provided here is, as originally planned, based on Floer homology. Besides the construction of the complex of sheaves, we prove that the filtered versions of sheaf cohomology of the quantization and of Floer cohomology coincide, that is $FH^*(N imes ]-\infty, λ[, {\mathcal F}^\bullet_L)\simeq FH^*(L;0_N;λ)$, and so do their product structures.

研究动机与目标

• 构造 $N \times \mathbb{R}$ 上的层复形 $F_L^\bullet$，使其奇点支集等于精确拉格朗日子流形 $L \subset T^*N$ 的锥 $\hat{L}$。
• 通过 Floer 理论提供层量化的证明，弥补 2011 年草图中的一个漏洞。
• 建立 $L$ 的过滤 Floer 上同调与 $F_L^\bullet$ 的过滤层上同调之间的典范同构。
• 证明两侧的乘积结构——Floer 上杯积与层的 Yoneda 乘积——在此同构下一致。
• 将框架扩展至包含层系数与拉格朗日钴 Bordism，应用于辛拓扑。

提出的方法

• 使用边界位于 $L$ 上的 $J$-全纯曲线的模空间，在 $N \times \mathbb{R}$ 上构造一个 Floer 准层。
• 应用修正技术，将该准层替换为一个真正的层复形 $\widehat{FC}_L^\bullet(f,\lambda)$，其在 $f$ 和 $\lambda$ 上是函子性的。
• 使用带有作用滤子 $f_{L_0,L_1}(x) = f_{L_1}(x) - f_{L_0}(x)$ 的过滤 Floer 上同调 $FC^\bullet_J(L_0,L_1;\lambda)$。
• 通过过滤复形的典范同构，将层上同调 $H^*(N, F_L^\bullet)$ 识别为 Floer 上同调 $HF^*(L; \lambda)$。
• 通过证明层上同调上的 Yoneda 乘积与 Floer 上杯积一致，证明乘积结构的等价性。
• 利用辛约化与短裤乘积构造，关联三重交集并验证乘积结构的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造 $N \times \mathbb{R}$ 上的层复形，使其奇点支集为精确拉格朗日子流形 $L \subset T^*N$ 的锥 $\hat{L}$？
• RQ2 带有作用滤子 $\lambda$ 的 $L$ 的过滤 Floer 上同调是否同构于量化复形 $F_L^\bullet$ 的过滤层上同调？
• RQ3 在此同构下，Floer 上杯积与层 Yoneda 乘积是否一致？
• RQ4 层量化在拉格朗日钴 Bordism 下的行为如何？哪些不变量被保持？
• RQ5 该框架能否扩展至带有层系数的 Floer 上同调？其对辛拓扑有何含义？

主要发现

• 通过 Floer 理论方法，确立了 $N \times \mathbb{R}$ 上存在一个层复形 $F_L^\bullet$，其奇点支集 $SS(F_L^\bullet) = \hat{L}$，解决了 2011 年草图中的漏洞。
• 存在一个过滤复形的典范同构：$F H^*(N \times ]-\infty, \lambda[, F_L^\bullet) \simeq F H^*(L; 0_N; \lambda)$，保持滤子与分次。
• 两侧的乘积结构同构：层上同调上的 Yoneda 乘积与 Floer 上杯积一致。
• 构造了 $-L$ 的层量化，且层理论中的短裤乘积对应于 Floer 理论中的成对短裤乘积。
• 过滤 Floer 上同调与层上同调之间的同构在辛约化下保持不变，证实了乘积结构的一致性。
• 该框架支持拉格朗日钴 Bordism 的应用：若 $C$ 是从 $L_0$ 到 $L_1$ 的精确拉格朗日钴 Bordism，则 $F H^*(L_0) \simeq F H^*(L_1)$，且同构由 $N \times [0,1]$ 上的层诱导。