[论文解读] Sheaf-Theoretic Stratification Learning from Geometric and Topological Perspectives

Adam Brown, Bei Wang|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2017

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 28被引用 4

一句话总结

本文提出了一种层论框架用于分层学习，该框架构建了给定层（例如局部同调）为构造层时的唯一最小分层。通过利用偏序集上的亚历山德罗夫拓扑并避免完整的层化过程，该方法通过在最小开邻域上对限制映射进行同构性检查来计算分层，为现有的拓扑与几何分层算法提供了一种计算效率更高的替代方案。

ABSTRACT

In this paper, we investigate a sheaf-theoretic interpretation of stratification learning from geometric and topological perspectives. Our main result is the construction of stratification learning algorithms framed in terms of a sheaf on a partially ordered set with the Alexandroff topology. We prove that the resulting decomposition is the unique minimal stratification for which the strata are homogeneous and the given sheaf is constructible. In particular, when we choose to work with the local homology sheaf, our algorithm gives an alternative to the local homology transfer algorithm given in Bendich et al. (2012), and the cohomology stratification algorithm given in Nanda (2017). Additionally, we give examples of stratifications based on the geometric techniques of Breiding et al. (2018), illustrating how the sheaf-theoretic approach can be used to study stratifications from both topological and geometric perspectives. This approach also points toward future applications of sheaf theory in the study of topological data analysis by illustrating the utility of the language of sheaf theory in generalizing existing algorithms.

研究动机与目标

• 开发一种可计算的、基于层论的分层学习方法，以推广现有的拓扑与几何聚类方法。
• 定义一个使给定层为可构造的最小分层，确保各分层之间具有同调可区分性。
• 通过仅使用最小开邻域上的预层数据，避免昂贵的层化步骤。
• 通过层论的语言统一几何与拓扑视角在分层学习中的应用。
• 通过应用于局部同调、极大元以及消失多项式，展示该框架的通用性。

提出的方法

• 将数据建模为带有亚历山德罗夫拓扑的有限 T₀ 空间，以偏序集的形式表示。
• 在该偏序集上定义一个层（例如局部同调、极大元、消失多项式），以编码几何或拓扑不变量。
• 通过检查最小开邻域之间限制映射是否为同构，构建最粗的分层。
• 利用层化在最小开集上与预层一致的事实，实现在无需完整层化的情况下进行计算。
• 通过迭代合并局部层限制为同构的点，计算最小分层。
• 将该方法应用于拓扑不变量（例如局部同调）与几何结构（例如消失多项式），以展示其通用性。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于层论的框架能否为从混合维度、奇异空间中采样的数据提供一个最小且可构造的分层？
• RQ2 如何在不进行完整层化的情况下，计算性地强制实现层的可构造性？
• RQ3 基于层论的分层与现有算法（如局部同调传递或上同调分层）之间存在何种关系？
• RQ4 几何层（例如消失多项式）是否能产生与拓扑层一样有意义的分层？
• RQ5 在三角剖分细化或点云数据中存在噪声的情况下，基于层的分层在稳定性方面表现如何？

主要发现

• 所提出的算法计算出使给定层为可构造的唯一最小分层，确保了同调最小性。
• 该方法通过仅依赖最小开邻域之间的限制映射，避免了层化过程，显著降低了计算成本。
• 对于局部同调层，该算法产生的分层与局部同调传递算法等价，但具有更一般的理论基础。
• 该框架可推广至其他层，包括极大元的组合层与消失多项式的几何预层。
• 该算法支持局部同调群的分布式计算，因为同构性检查仅依赖于最小邻域。
• 该方法对三角剖分数据进行了粗化处理，在减少分层数量的同时保留了有意义的拓扑与几何结构。