[论文解读] Shearlet frames with short support

Li Song, Yi Shen|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2011

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 3被引用 3

一句话总结

该论文利用B样条构造了对称的、具有紧支集的剪切波框架，实现了卡通类图像的显式解析表达式与最优稀疏性。通过采用II型伪样条与B样条生成器，作者建立了剪切波系统，实现了几乎最优的稀疏逼近，具备保证的框架边界和改进的空间局部化特性。

ABSTRACT

Compactly supported shearlets have been studied in both theory and applications. In this paper, we construct symmetric compactly supported shearlet systems based on pseudo splines of type II. Specially, using B-splines, we construct shearlet frame having explicit analytical forms which is important for applications. The shearlet systems based on B-splines also provide optimally sparse approximation within cartoon-liked image.

研究动机与目标

• 解决空间域中缺乏具有显式解析表达式的对称、紧支集剪切波框架的问题。
• 克服现有紧支集剪切波的局限性，即它们既不具有对称性，也缺乏解析显式性。
• 基于B样条开发剪切波系统，以确保对卡通类图像实现最优稀疏性。
• 为基于B样条生成器的剪切波系统建立紧框架边界并证明其框架性质。
• 提供一种支持最小、公式显式的实用构造方法，适用于图像处理应用。

提出的方法

• 使用m阶B样条函数作为生成器构造剪切波系统，确保在空间域中具有显式解析表达式。
• 通过矩阵 $ A_{2^j} $ 和 $ \tilde{A}_{2^j} $ 实现抛物线缩放律，并通过剪切矩阵 $ S_k $ 实现方向编码。
• 定义锥适应离散剪切波系统 $ SH(\phi, \psi, \tilde{\psi}; c) $，分别覆盖 $ \mathcal{C}_1 \cup \mathcal{C}_3 $ 和 $ \mathcal{C}_2 \cup \mathcal{C}_4 $ 的频域。
• 推导剪切波的傅里叶变换 $ \hat{\psi}(\xi) = \hat{b}(\xi_1)\hat{\phi}(\xi_1)\hat{\phi}(\xi_2) $，其中 $ \hat{b} $ 由伪样条掩模导出。
• 建立II型伪样条的傅里叶变换的下界与上界，这对框架边界分析至关重要。
• 证明所得到的剪切波系统满足框架条件，并具有显式框架边界，确保稳定重建。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用B样条构造出具有显式解析表达式的对称、紧支集剪切波框架？
• RQ2 基于B样条的剪切波系统是否能对卡通类图像实现几乎最优的稀疏性？
• RQ3 从B样条生成器导出的剪切波系统的框架边界是什么？它们如何依赖于B样条的阶数？
• RQ4 基于B样条的剪切波的傅里叶变换的衰减特性与其它构造方法相比如何？
• RQ5 该构造能否推广到任意 $ 0 < \alpha < \pi/2 $，以确保在广泛采样参数范围内的框架稳定性？

主要发现

• 基于B样条的剪切波系统在空间域中具有显式解析表达式，这与大多数小波和剪切波构造不同。
• 所构造的剪切波具有对称或反对称特性，解决了先前紧支集剪切波系统的关键局限性。
• 剪切波系统对卡通类图像提供了几乎最优的稀疏逼近，与稀疏性的理论极限一致。
• 对于B样条阶数3，剪切波系统 $ \Psi(\psi;c) $ 构成 $ \{f \in L_2(\mathbb{R}^2) : \mathrm{supp}\,\hat{f} \in \mathcal{C}_1(\alpha) \cup \mathcal{C}_3(\alpha)\} $ 的框架，其中 $ c_2 \leq c_1 \leq \hat{c} $，且 $ \hat{c} > 0 $。
• 对于B样条阶数4，系统 $ \Psi(\phi, \psi_1, \psi_2; c) $ 对 $ \mathscr{E}^2(v) $ 中的函数提供了几乎最优的稀疏逼近，采样常数 $ c > 0 $。