[论文解读] Shen's Processes on Finslerian Connections

Akbar Tayebi, Behzad Najafi|ArXiv.org|Nov 18, 2009

Advanced Differential Geometry Research参考文献 14被引用 13

一句话总结

本文引入了沈氏C-和L-过程——对芬斯勒联络的新型变换，广义化了松本的变换。证明了沈联络可通过陈联络经由沈氏C-过程得到，并建立了曲率不变性与等价条件：hv-曲率一致刻画黎曼度量，而hh-曲率一致意味着兰斯堡度量。结果阐明了在芬斯勒几何中新几何过程中曲率行为的特性。

ABSTRACT

In this paper, we discuss the invariant properties of curvatures effected by the Matsumoto's $C$ or $L$-process. We find equivalent conditions on curvatures by comparing the difference between the corresponding curvatures of closely related connections. As an application, Matsumoto's $L$-process on Randers manifold is studied. Shen connection can not be obtained by using Matsumoto's processes from other well-known connections. This leads us to two new processes which we call Shen's $C$ and $L$-processes. We study the invariant properties of curvatures under the Shen's processes.

研究动机与目标

• 填补沈联络无法通过已知联络（如Cartan、Chern或Berwald）经由松本的C-和L-过程获得的空白。
• 定义两种新过程——沈氏C-过程与L-过程——将松本的框架扩展至包含沈联络。
• 研究这些新过程中曲率不变性与等价条件，特别是hh-、hv-与vv-曲率。
• 分析沈氏过程对著名联络（陈、Berwald、Cartan）的影响，并基于曲率一致推导度量特征。
• 建立Finsler度量在何种条件下通过新过程退化为兰斯堡或黎曼度量的条件。

提出的方法

• 将沈氏C-过程与L-过程定义为芬斯勒联络上的变换，广义化松本的C-与L-过程。
• 以Cartan联络为基底联络，并假设相关联络具有相同的水平分布。
• 应用微分几何技术：结构方程、外微分与曲率张量分解（hh、hv、vv分量）。
• 利用张量恒等式与协变导数性质，推导沈过程下曲率张量的变换规律。
• 利用包含联络形式 $\omega^i$、$\omega^n_i$ 与 $\omega^{n+i}_j$ 及其外微分的结构方程。
• 应用已知恒等式如 $A_{ijk} = F C_{ijk}$、$L_{ijk} = C_{ijk} - \frac{1}{n+1}(I_i h_{jk} + \cdots)$ 与 $P_{njnl} = 0$ 以简化曲率表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 沈联络能否通过松本的C-与L-过程从已知联络（如陈或Cartan）获得？
• RQ2 沈氏C-与L-过程中，哪些曲率不变量保持不变？
• RQ3 当两个由沈氏过程关联的联络的hh-、hv-与vv-曲率在何种条件下一致？
• RQ4 当特定曲率分量一致时，会导出何种度量特征（如兰斯堡、Randers、黎曼）？
• RQ5 新过程如何影响Finsler联络的挠率与曲率结构？

主要发现

• 沈联络可通过陈联络经由沈氏C-过程得到，确立了获得该联络的新路径。
• 在沈氏C-过程中，两个相关联络的vv-曲率始终一致。
• 若两个由沈氏C-过程关联的联络的hh-曲率一致，则Finsler度量 $F$ 为兰斯堡度量。
• 两个由沈氏C-过程关联的联络的hv-曲率一致，当且仅当 $F$ 为黎曼度量。
• 对于沈氏L-过程，若联络保持无挠，则 $F$ 为兰斯堡度量，且该过程在无挠联络集合上作用恒等。
• 若两个由沈氏L-过程关联的联络的hv-曲率消失，则 $F$ 为广义兰斯堡度量，可能并非兰斯堡度量。